Encontre um vetor não-nulo que seja perpendicular a \mathbf{v}_{4} e a \mathbf{v}_{5}.
Passo 1
O enunciado dá seis vetores em \mathbb{R}^{3}. Preciso encontrar um vetor não-nulo que seja perpendicular a \mathbf{v}_{4} e a \mathbf{v}_{5}. Vou listar os vetores relevantes (peguei-os do enunciado):
A pergunta é: encontrar \emph{um} vetor \mathbf{x}\neq\mathbf{0} tal que \mathbf{x} seja perpendicular a \mathbf{v}_{4} e a \mathbf{v}_{5}.
Passo 2
O que significa “perpendicular” em \mathbb{R}^{3}? Dois vetores são perpendiculares quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero. Para vetores \mathbf{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \mathbf{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) o produto escalar é
Qualquer escolha de x_{1}\neq 0 dá um vetor não-nulo perpendicular a \mathbf{v}_{4} e \mathbf{v}_{5}. A escolha mais simples é x_{1}=1, então um vetor conveniente é (1,-1,3).
Passo 5
Quero também mostrar, rapidinho, outro método clássico que dá o mesmo resultado: o produto vetorial. Em \mathbb{R}^{3}, o produto vetorial \mathbf{v}_{4}\times\mathbf{v}_{5} é um vetor perpendicular a ambos. Calculando: