Sejam os vetores em \mathbb{R}^{3} abaixo:
\begin{array}{lll} \mathbf{v}_{1}=(1,2,3), & \mathbf{v}_{2}=(2,-1,4), & \mathbf{v}_{3}=(0,1,1), \\\ \mathbf{v}_{4}=(3,0,-1), & \mathbf{v}_{5}=(1,1,0), & \mathbf{v}_{6}=(2,2,5) . \end{array}
Encontre um vetor não-nulo que seja perpendicular a \mathbf{v}_{4} e a \mathbf{v}_{5}.

Passo 1

O enunciado dá seis vetores em \mathbb{R}^{3}. Preciso encontrar um vetor não-nulo que seja perpendicular a \mathbf{v}_{4} e a \mathbf{v}_{5}. Vou listar os vetores relevantes (peguei-os do enunciado):
\mathbf{v}_{4}=(3,0,-1),\qquad \mathbf{v}_{5}=(1,1,0).
A pergunta é: encontrar \emph{um} vetor \mathbf{x}\neq\mathbf{0} tal que \mathbf{x} seja perpendicular a \mathbf{v}_{4} e a \mathbf{v}_{5}.

Passo 2

O que significa “perpendicular” em \mathbb{R}^{3}? Dois vetores são perpendiculares quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero. Para vetores \mathbf{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \mathbf{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) o produto escalar é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Portanto, se \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}) deve ser perpendicular a \mathbf{v}_{4} e a \mathbf{v}_{5}, então devemos ter as duas equações
\mathbf{x}\cdot\mathbf{v}_{4}=0 \qquad\text{e}\qquad \mathbf{x}\cdot\mathbf{v}_{5}=0.

Passo 3

Vou escrever explicitamente as duas equações usando as componentes de \mathbf{v}_{4} e \mathbf{v}_{5}. Com \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}) temos
\mathbf{x}\cdot\mathbf{v}_{4}=3x_{1}+0\cdot x_{2}-1\cdot x_{3}=3x_{1}-x_{3}=0,
\mathbf{x}\cdot\mathbf{v}_{5}=1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=x_{1}+x_{2}=0.

Passo 4

Resolvo o sistema obtido. Da primeira equação vem
3x_{1}-x_{3}=0\quad\Rightarrow\quad x_{3}=3x_{1}.
Da segunda equação vem
x_{1}+x_{2}=0\quad\Rightarrow\quad x_{2}=-x_{1}.
Logo a solução geral para \mathbf{x} é
\mathbf{x}=(x_{1},-x_{1},3x_{1})=x_{1}(1,-1,3).
Qualquer escolha de x_{1}\neq 0 dá um vetor não-nulo perpendicular a \mathbf{v}_{4} e \mathbf{v}_{5}. A escolha mais simples é x_{1}=1, então um vetor conveniente é (1,-1,3).

Passo 5

Quero também mostrar, rapidinho, outro método clássico que dá o mesmo resultado: o produto vetorial. Em \mathbb{R}^{3}, o produto vetorial \mathbf{v}_{4}\times\mathbf{v}_{5} é um vetor perpendicular a ambos. Calculando:
\mathbf{v}_{4}\times\mathbf{v}_{5}= \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
=\mathbf{i}(0\cdot 0-(-1)\cdot 1)-\mathbf{j}(3\cdot 0-(-1)\cdot 1)+\mathbf{k}(3\cdot 1-0\cdot 1)
=(1,-1,3).
Portanto o produto vetorial confirma a solução obtida pelo sistema linear.

Passo 6

Verificação final (calma, é só para sentir segurança): calculo os produtos escalares
(1,-1,3)\cdot(3,0,-1)=1\cdot 3 + (-1)\cdot 0 + 3\cdot(-1)=3+0-3=0,
(1,-1,3)\cdot(1,1,0)=1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 3\cdot 0=1-1+0=0.
Ambos são zero, logo (1,-1,3) é realmente perpendicular a \mathbf{v}_{4} e \mathbf{v}_{5}.

Resposta

(1,-1,3)

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