Sejam os vetores \mathbf{a}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k} e \mathbf{b}=4 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}, calcule:
2 \mathbf{a}-3 \mathbf{b}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\mathbf{a}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k} e \mathbf{b}=4\mathbf{i}+2\mathbf{j},
e pede para calcular
2\mathbf{a}-3\mathbf{b}.
Informações relevantes dadas:
  • \mathbf{a} tem componentes (3,-2,1) (peguei isso do enunciado).
  • \mathbf{b} tem componentes (4,2,0) (note que o termo em \mathbf{k} não aparece no enunciado, então é 0).
  • A operação solicitada envolve multiplicações por escalares ( 2 e 3) e subtração de vetores.

Passo 2

Representação em componentes: é mais fácil trabalhar com vetores escrevendo-os como tuplas de componentes.
\mathbf{a}=(3,-2,1),\qquad \mathbf{b}=(4,2,0).
Explicação rápida: a primeira coordenada corresponde ao coeficiente de \mathbf{i}, a segunda ao de \mathbf{j} e a terceira ao de \mathbf{k}.

Passo 3

Regra da multiplicação por escalar: para um escalar c e um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto c\mathbf{v} é feito multiplicando cada componente por c:
c\mathbf{v}=(c v_1,\; c v_2,\; c v_3).
Aplicando em \mathbf{a} com c=2:
2\mathbf{a}=2(3,-2,1)=(2\cdot3,\;2\cdot(-2),\;2\cdot1)=(6,-4,2).

Passo 4

Agora calcular 3\mathbf{b} usando a mesma regra. Como \mathbf{b}=(4,2,0),
3\mathbf{b}=3(4,2,0)=(3\cdot4,\;3\cdot2,\;3\cdot0)=(12,6,0).

Passo 5

Subtração de vetores componente a componente: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}-\mathbf{v}=(u_1-v_1,\;u_2-v_2,\;u_3-v_3).
Usando \mathbf{u}=2\mathbf{a}=(6,-4,2) e \mathbf{v}=3\mathbf{b}=(12,6,0),
2\mathbf{a}-3\mathbf{b}=(6-12,\;-4-6,\;2-0)=(-6,-10,2).

Passo 6

Voltar à forma com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}: as componentes (-6,-10,2) correspondem ao vetor
-6\mathbf{i}-10\mathbf{j}+2\mathbf{k}.

Resposta

-6\mathbf{i}-10\mathbf{j}+2\mathbf{k}

Exercícios relacionados