Sejam os vetores u=(1,-2,3) e v=(3,1,2).
(a) Determine [u, v] (subespaço gerado por u e v ).
(b) O vetor (-2,5,-3) \in[u, v] ?
(c) Exiba uma base para [u, v]. Qual é a dimensão?
(d) [u, v]=R^{3} ? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,-2,3) e v=(3,1,2) em \mathbb{R}^3 e pede quatro coisas:
(a) determinar [u,v], o subespaço gerado por u e v;
(b) verificar se o vetor (-2,5,-3) pertence a [u,v];
(c) exibir uma base para [u,v] e informar a dimensão;
(d) responder se [u,v]=\mathbb{R}^3 e justificar.
Também fica implícito que [u,v] significa o conjunto de todas as combinações lineares de u e v, ou seja todos os vetores da forma a u + b v com a,b\in\mathbb{R}.

Passo 2

Definição e forma geral de uma combinação linear (aula curta): o subespaço gerado por u e v é
[u,v]=\{a u + b v : a,b\in\mathbb{R}\}.
Aqui isso significa pegar escalares a e b e somar a(1,-2,3) com b(3,1,2). Vou calcular essa combinação linear componente a componente para obter uma descrição paramétrica do subespaço.

Passo 3

Calcule a u + b v componente a componente:
a u + b v = a(1,-2,3) + b(3,1,2).
Somando as componentes obtemos
a u + b v = (a+3b,\;-2a+b,\;3a+2b).
Portanto uma descrição explícita do subespaço é
[u,v]=\{(a+3b,\;-2a+b,\;3a+2b) : a,b\in\mathbb{R}\}.
Isto responde a letra (a): [u,v] é exatamente esse conjunto de vetores que dependem dos parâmetros a,b.

Passo 4

Verificação se (-2,5,-3)\in[u,v]\) por solução do sistema (método direto): Procuramos \(a,b\) tais que \[(a+3b,\;-2a+b,\;3a+2b)=(-2,5,-3).
Isto gera o sistema linear de três equações em a,b:
\begin{cases} a+3b=-2,\\[4pt] -2a+b=5,\\[4pt] 3a+2b=-3. \end{cases}
Vou resolver as duas primeiras equações e checar a terceira.
Da primeira equação isolamos a\]: \[a=-2-3b.\] Substituindo na segunda: \[-2(-2-3b)+b=5.\] Calculando: \[4+6b+b=5 \quad\Rightarrow\quad 7b=1 \quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{1}{7}.\] Então \[a=-2-3\cdot\tfrac{1}{7} = -2-\tfrac{3}{7} = -\tfrac{17}{7}.\] Agora verificamos a terceira equação com esses \(a,b:
3a+2b = 3\left(-\tfrac{17}{7}\right)+2\left(\tfrac{1}{7}\right)= -\tfrac{51}{7}+\tfrac{2}{7}=-\tfrac{49}{7}=-7.
Mas a terceira equação exige 3a+2b=-3. Como -7\neq -3, as três equações são incompatíveis: não existe a,b que satisfaçam todas simultaneamente. Conclusão: (-2,5,-3)\notin[u,v].]

Passo 5

Interpretação geométrica / checagem alternativa (dica útil para prova): os vetores u e v geram um plano passando pela origem em \mathbb{R}^3. Uma maneira rápida de ver isso é calcular o produto vetorial u\times v que fornece um vetor normal ao plano gerado por u e v.
Calcule u\times v:
u\times v = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = (-7,\,7,\,7).
Esse vetor normal é não nulo, então u e v são linearmente independentes e geram um plano (dimensão 2). Qualquer vetor w do plano satisfaz w\cdot (u\times v)=0. Para (-2,5,-3) temos
(-2,5,-3)\cdot(-7,7,7)=14+35-21=28\neq 0,
logo (-2,5,-3) não é ortogonal ao normal, portanto não está no plano gerado por u e v. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Passo 6

Base e dimensão (leitura didática): uma coleção de vetores forma uma base de um subespaço se eles geram o subespaço e são linearmente independentes. Já vimos que [u) e v geram [u,v]. Falta checar independência — mas o produto vetorial não-nulo e o fato de que um não é múltiplo escalar do outro garantem independência.
Uma checagem direta de independência: suponha \alpha u + \beta v = 0. Isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha + 3\beta = 0,\\\\ -2\alpha + \beta = 0. \end{cases}
Da primeira \alpha=-3\beta\]. Substituindo na segunda: \(-2(-3\beta)+\beta=6\beta+\beta=7\beta=0\Rightarrow\beta=0\Rightarrow\alpha=0. Só a solução trivial, logo são independentes.
Portanto \{u,v\} é uma base de [u,v]. Como a base tem dois vetores, a dimensão de [u,v] é 2.

Passo 7

Resposta à pergunta (d) sobre igualdade com \mathbb{R}^3: como [u,v] é um subespaço de \mathbb{R}^3 com dimensão 2, ele não pode ser todo \mathbb{R}^3 (que tem dimensão 3). Geometricamente, u e v geram um plano através da origem, não todo o espaço tridimensional. Logo [u,v]\neq\mathbb{R}^3.

Resposta

(a) [u,v]=\{(a+3b,\;-2a+b,\;3a+2b) : a,b\in\mathbb{R}\}.
(b) (-2,5,-3)\notin[u,v].
(c) Uma base é \{u,v\}=\{(1,-2,3),(3,1,2)\}. Dimensão =2.
(d) [u,v]\neq\mathbb{R}^3, pois \dim([u,v])=2<3 (ou seja, geram apenas um plano em \mathbb{R}^3).

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