Sejam os vetores u=(1,-2,3) e v=(3,1,2).
(a) Determine [u, v] (subespaço gerado por u e v ).
(b) O vetor (-2,5,-3) \in[u, v] ?
(c) Exiba uma base para [u, v]. Qual é a dimensão?
(d) [u, v]=R^{3} ? Por quê?
Passo 1
O enunciado dá os vetores u=(1,-2,3) e v=(3,1,2) em \mathbb{R}^3 e pede quatro coisas:
(a) determinar [u,v], o subespaço gerado por u e v;
(b) verificar se o vetor (-2,5,-3) pertence a [u,v];
(c) exibir uma base para [u,v] e informar a dimensão;
(d) responder se [u,v]=\mathbb{R}^3 e justificar.
Também fica implícito que [u,v] significa o conjunto de todas as combinações lineares de u e v, ou seja todos os vetores da forma a u + b v com a,b\in\mathbb{R}.
Passo 2
Definição e forma geral de uma combinação linear (aula curta): o subespaço gerado por u e v é
[u,v]=\{a u + b v : a,b\in\mathbb{R}\}.
Aqui isso significa pegar escalares a e b e somar a(1,-2,3) com b(3,1,2). Vou calcular essa combinação linear componente a componente para obter uma descrição paramétrica do subespaço.
Vou resolver as duas primeiras equações e checar a terceira.
Da primeira equação isolamos a\]:
\[a=-2-3b.\]
Substituindo na segunda:
\[-2(-2-3b)+b=5.\]
Calculando:
\[4+6b+b=5 \quad\Rightarrow\quad 7b=1 \quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{1}{7}.\]
Então
\[a=-2-3\cdot\tfrac{1}{7} = -2-\tfrac{3}{7} = -\tfrac{17}{7}.\]
Agora verificamos a terceira equação com esses \(a,b:
Mas a terceira equação exige 3a+2b=-3. Como -7\neq -3, as três equações são incompatíveis: não existe a,b que satisfaçam todas simultaneamente. Conclusão: (-2,5,-3)\notin[u,v].]
Passo 5
Interpretação geométrica / checagem alternativa (dica útil para prova): os vetores u e v geram um plano passando pela origem em \mathbb{R}^3. Uma maneira rápida de ver isso é calcular o produto vetorial u\times v que fornece um vetor normal ao plano gerado por u e v.
Esse vetor normal é não nulo, então u e v são linearmente independentes e geram um plano (dimensão 2). Qualquer vetor w do plano satisfaz w\cdot (u\times v)=0. Para (-2,5,-3) temos
(-2,5,-3)\cdot(-7,7,7)=14+35-21=28\neq 0,
logo (-2,5,-3) não é ortogonal ao normal, portanto não está no plano gerado por u e v. Isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 6
Base e dimensão (leitura didática): uma coleção de vetores forma uma base de um subespaço se eles geram o subespaço e são linearmente independentes. Já vimos que [u) e v geram [u,v]. Falta checar independência — mas o produto vetorial não-nulo e o fato de que um não é múltiplo escalar do outro garantem independência.
Uma checagem direta de independência: suponha \alpha u + \beta v = 0. Isso dá o sistema
Da primeira \alpha=-3\beta\]. Substituindo na segunda: \(-2(-3\beta)+\beta=6\beta+\beta=7\beta=0\Rightarrow\beta=0\Rightarrow\alpha=0. Só a solução trivial, logo são independentes.
Portanto \{u,v\} é uma base de [u,v]. Como a base tem dois vetores, a dimensão de [u,v] é 2.
Passo 7
Resposta à pergunta (d) sobre igualdade com \mathbb{R}^3: como [u,v] é um subespaço de \mathbb{R}^3 com dimensão 2, ele não pode ser todo \mathbb{R}^3 (que tem dimensão 3). Geometricamente, u e v geram um plano através da origem, não todo o espaço tridimensional. Logo [u,v]\neq\mathbb{R}^3.
Resposta
(a) [u,v]=\{(a+3b,\;-2a+b,\;3a+2b) : a,b\in\mathbb{R}\}.
(b) (-2,5,-3)\notin[u,v].
(c) Uma base é \{u,v\}=\{(1,-2,3),(3,1,2)\}. Dimensão =2.
(d) [u,v]\neq\mathbb{R}^3, pois \dim([u,v])=2<3 (ou seja, geram apenas um plano em \mathbb{R}^3).