Verifique quais dos seguintes conjuntos são LD ou LI
D=\{(1,0,-1),(1,2,1),(0,-1,0)\}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei os vetores do enunciado):
  • Conjunto D=\{(1,0,-1),(1,2,1),(0,-1,0)\}.
  • Pergunta: verificar se o conjunto D é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI).

Passo 2

Definição e ideia do método (explicação didática, sem pular etapas):
  • Dizemos que vetores v_1,v_2,\dots,v_k são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k=0
implica que \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.
  • Se existir uma escolha de coeficientes \alpha_i nem todos nulos que satisfaça essa igualdade, então os vetores são linearmente dependentes.
  • Método prático: colocar uma combinação linear \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0, escrever as equações para cada componente e resolver o sistema homogêneo. Se a única solução for a trivial, então são LI; caso contrário, LD.
  • Vou usar esse método porque é direto, elementar e evita cálculos adicionais de determinante (é o jeito que normalmente se aplica numa prova sem calculadora).

Passo 3

Escrever a combinação linear geral com incógnitas (nomeando os coeficientes de forma simples):
  • Seja a,b,c escalares tais que
a(1,0,-1)+b(1,2,1)+c(0,-1,0)=(0,0,0).
  • Vamos escrever isso componente a componente. Para as três componentes obtemos o sistema:
\begin{cases} a+b+0c=0,\\[4pt] 0a+2b-1c=0,\\[4pt] - a + b +0c=0. \end{cases}
Ou seja
\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] 2b-c=0,\\[4pt] - a + b=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (muito mastigado):
  • Da terceira equação temos -a+b=0. Isso é equivalente a
b=a.
  • Da primeira equação temos a+b=0. Substituindo b=a nessa equação:
a+a=0 \quad\Longrightarrow\quad 2a=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0.
  • Como b=a, segue que
b=0.
  • Da segunda equação 2b-c=0 obtemos
c=2b.
Substituindo b=0
c=2\cdot 0=0.

Passo 5

Interpretação do que foi encontrado:
  • As incógnitas a,b,c só admitem a solução a=b=c=0, ou seja, apenas a combinação trivial zera o vetor.
  • Pelo critério da definição, isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto D é linearmente independente.

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