Verifique quais dos seguintes conjuntos são LD ou LI D=\{(1,0,-1),(1,2,1),(0,-1,0)\}
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei os vetores do enunciado):
Conjunto D=\{(1,0,-1),(1,2,1),(0,-1,0)\}.
Pergunta: verificar se o conjunto D é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI).
Passo 2
Definição e ideia do método (explicação didática, sem pular etapas):
Dizemos que vetores v_1,v_2,\dots,v_k são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k=0
implica que \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.
Se existir uma escolha de coeficientes \alpha_i nem todos nulos que satisfaça essa igualdade, então os vetores são linearmente dependentes.
Método prático: colocar uma combinação linear \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0, escrever as equações para cada componente e resolver o sistema homogêneo. Se a única solução for a trivial, então são LI; caso contrário, LD.
Vou usar esse método porque é direto, elementar e evita cálculos adicionais de determinante (é o jeito que normalmente se aplica numa prova sem calculadora).
Passo 3
Escrever a combinação linear geral com incógnitas (nomeando os coeficientes de forma simples):
Seja a,b,c escalares tais que
a(1,0,-1)+b(1,2,1)+c(0,-1,0)=(0,0,0).
Vamos escrever isso componente a componente. Para as três componentes obtemos o sistema:
\begin{cases} a+b+0c=0,\\[4pt] 0a+2b-1c=0,\\[4pt] - a + b +0c=0. \end{cases}
Ou seja
\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] 2b-c=0,\\[4pt] - a + b=0. \end{cases}]
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo (muito mastigado):
Da terceira equação temos -a+b=0. Isso é equivalente a
b=a.
Da primeira equação temos a+b=0. Substituindo b=a nessa equação: