Sejam os vetores
\vec{A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{B}=-4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}.
Determine:
\vec{A} \cdot \hat{\imath}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{B}=-4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k} e pede para determinar \vec{A}\cdot\hat{\imath}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A componente x de \vec{A} é 2.
  • A componente y de \vec{A} é 3.
  • A componente z de \vec{A} é 1.
  • \hat{\imath} é o versor unitário na direção x.

Passo 2

Definição útil (a aula rápida): para dois vetores em coordenadas cartesianas, \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), o produto escalar (dot product) é dado por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Aqui u_x é a componente x de \vec{u}, v_y é a componente y de \vec{v}, etc. Essa fórmula é prática porque transforma o produto escalar em somas e multiplicações das componentes.

Passo 3

Escrevendo o versor \hat{\imath} em componentes: \hat{\imath}=(1,0,0). Em notação com versores isso equivale a
\hat{\imath}=1\hat{\imath}+0\hat{\jmath}+0\hat{k}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto escalar a \vec{A}=(2,3,1) e \hat{\imath}=(1,0,0):
\vec{A}\cdot\hat{\imath}=2\cdot 1 + 3\cdot 0 + 1\cdot 0.
Calcule passo a passo: 2\cdot 1 = 2, 3\cdot 0 = 0, 1\cdot 0 = 0. Somando:
\vec{A}\cdot\hat{\imath}=2+0+0=2.

Passo 5

Interpretação didática e dica para a prova: o produto escalar de um vetor com o versor \hat{\imath} retorna a componente x desse vetor. Em geral, \vec{v}\cdot\hat{\imath}=v_x, \vec{v}\cdot\hat{\jmath}=v_y e \vec{v}\cdot\hat{k}=v_z. Isso é rápido de usar na hora da prova — em vez de ficar fazendo geometria, basta olhar a componente.

Resposta

2

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