Sejam os vetores
\vec{A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{B}=-4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}.
Determine:
\vec{A} \cdot \vec{B}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede o produto escalar entre eles. As informações fornecidas são:
\vec{A}=2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{B}=-4\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k}.
A pergunta é: qual é \vec{A}\cdot\vec{B}?

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática do produto escalar para vetores em coordenadas cartesianas. Se
\vec{A} = A_x\hat{\imath}+A_y\hat{\jmath}+A_z\hat{k} e \vec{B} = B_x\hat{\imath}+B_y\hat{\jmath}+B_z\hat{k},
então o produto escalar é dado por
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Explicando: cada componente correspondente é multiplicada e depois somamos essas três multiplicações. O resultado é um número real (um escalar).

Passo 3

Identificamos as componentes de \vec{A} e \vec{B} a partir do enunciado:
A_x = 2,\quad A_y = 3,\quad A_z = 1,
B_x = -4,\quad B_y = 2,\quad B_z = -1.
Eu peguei esses valores diretamente dos vetores dados no enunciado.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do produto escalar e calculamos cada termo separadamente:
A_xB_x = 2 \cdot (-4) = -8,
A_yB_y = 3 \cdot 2 = 6,
A_zB_z = 1 \cdot (-1) = -1.
Cada linha é apenas a multiplicação das componentes correspondentes.

Passo 5

Somamos os três resultados para obter o produto escalar:
\vec{A}\cdot\vec{B} = -8 + 6 + (-1) = -8 + 6 - 1 = -3.
Interpretação rápida: o sinal negativo final indica que, no balanço das componentes, há predominância de contribuições negativas ao produto escalar.

Resposta

-3

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