Mostre que
\sigma_{x}=\left(\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que
\sigma_{x}=\left(\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}\right)^{1 / 2}.
Informações relevantes dadas ou implícitas:
  • O símbolo \langle \cdot \rangle denota o valor esperado (esperança) da variável x.
  • \sigma_x é a dispersão padrão (desvio padrão) associada a x.
    Neste passo eu apenas reorganizei o enunciado e explicitei os símbolos; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Definição que vamos usar (essa é a definição padrão do desvio): o desvio padrão \sigma_x é a raiz quadrada da esperança do quadrado do desvio de x em relação à sua média. Em símbolos:
\sigma_x = \left(\left\langle\bigl(x-\langle x\rangle\bigr)^2\right\rangle\right)^{1/2}.
Aqui \langle x\rangle é a média (esperança) de x. Vou chamar \langle x\rangle de \mu quando for mais prático, isto é, \mu=\langle x\rangle. Isso só é uma notação auxiliar.

Passo 3

Vamos desenvolver o quadrado dentro da expectativa. Primeiro expandimos o quadrado:
\bigl(x-\mu\bigr)^2 = x^2 - 2\mu x + \mu^2.
Explicação passo a passo dessa identidade: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Aqui a=x e b=\mu.

Passo 4

Agora aplicamos a esperança (operador \langle\cdot\rangle) em ambos os lados da igualdade da Passo 3. Usamos a propriedade fundamental da esperança: ela é linear, ou seja, para quaisquer constantes A,B e variáveis Y,Z,
\langle A Y + B Z \rangle = A \langle Y\rangle + B\langle Z\rangle,
e constantes podem ser tiradas para fora da esperança. Aplicando isso:
\left\langle\bigl(x-\mu\bigr)^2\right\rangle = \langle x^2 \rangle - 2\mu \langle x\rangle + \langle \mu^2 \rangle.

Passo 5

Avaliamo cada termo do lado direito:
  • \langle x^2\rangle fica como está.
  • \langle x\rangle é \mu por definição.
  • \mu é uma constante (não depende de x), então \langle \mu^2\rangle = \mu^2.
    Substituindo essas observações em
\left\langle\bigl(x-\mu\bigr)^2\right\rangle = \langle x^2 \rangle - 2\mu \langle x\rangle + \mu^2,
obtemos
\left\langle\bigl(x-\mu\bigr)^2\right\rangle = \langle x^2 \rangle - 2\mu^2 + \mu^2.

Passo 6

Simplificando -2\mu^2 + \mu^2 = -\mu^2, temos
\left\langle\bigl(x-\mu\bigr)^2\right\rangle = \langle x^2 \rangle - \mu^2.
Voltando à notação original com \mu=\langle x\rangle, isso é
\left\langle\bigl(x-\langle x\rangle\bigr)^2\right\rangle = \left\langle x^2\right\rangle - \langle x\rangle^2.

Passo 7

Como \sigma_x é a raiz quadrada da esperança do quadrado do desvio (Passo 2), agora tomamos a raiz quadrada em ambos os lados da identidade do Passo 6:
\sigma_x = \left(\left\langle\bigl(x-\langle x\rangle\bigr)^2\right\rangle\right)^{1/2} = \left(\left\langle x^2\right\rangle - \langle x\rangle^2\right)^{1/2}.
Isso é exatamente a igualdade que nos pediram para mostrar.

Passo 8

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Suponha que x tome os valores 1,2,3 com igual probabilidade 1/3.
  • Calculamos \langle x\rangle:
\langle x\rangle = \frac{1+2+3}{3} = 2.
  • Calculamos \langle x^2\rangle:
\langle x^2\rangle = \frac{1^2+2^2+3^2}{3} = \frac{1+4+9}{3} = \frac{14}{3}.
  • Pela fórmula obtida, a variância é
\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2 = \frac{14}{3} - 2^2 = \frac{14}{3} - 4 = \frac{2}{3},
e o desvio padrão é
\sigma_x = \sqrt{\frac{2}{3}}.
Isso confirma na prática que a fórmula funciona e como aplicá-la numa prova sem calculadora.

Resposta

\sigma_{x}=\left(\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}\right)^{1 / 2}

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