Mostre que
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que
Informações relevantes dadas ou implícitas:
- O símbolo
denota o valor esperado (esperança) da variável . -
é a dispersão padrão (desvio padrão) associada a .
Neste passo eu apenas reorganizei o enunciado e explicitei os símbolos; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Definição que vamos usar (essa é a definição padrão do desvio): o desvio padrão
é a raiz quadrada da esperança do quadrado do desvio de
em relação à sua média. Em símbolos:
Aqui
é a média (esperança) de
. Vou chamar
de
quando for mais prático, isto é,
. Isso só é uma notação auxiliar.
Passo 3
Vamos desenvolver o quadrado dentro da expectativa. Primeiro expandimos o quadrado:
Explicação passo a passo dessa identidade:
. Aqui
e
.
Passo 4
Agora aplicamos a esperança (operador
) em ambos os lados da igualdade da Passo 3. Usamos a propriedade fundamental da esperança: ela é linear, ou seja, para quaisquer constantes
e variáveis
,
e constantes podem ser tiradas para fora da esperança. Aplicando isso:
Passo 5
Avaliamo cada termo do lado direito:
-
fica como está. -
é por definição. -
é uma constante (não depende de ), então .
Substituindo essas observações em
obtemos
Passo 6
Simplificando
, temos
Voltando à notação original com
, isso é
Passo 7
Como
é a raiz quadrada da esperança do quadrado do desvio (Passo 2), agora tomamos a raiz quadrada em ambos os lados da identidade do Passo 6:
Isso é exatamente a igualdade que nos pediram para mostrar.
Passo 8
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Suponha que
tome os valores
com igual probabilidade
.
- Calculamos
:
- Calculamos
:
- Pela fórmula obtida, a variância é
e o desvio padrão é
Isso confirma na prática que a fórmula funciona e como aplicá-la numa prova sem calculadora.