Sejam os vetores \vec{u}=(3,2,1) e \vec{v}=(-1,-4,-1). Calcular:
(a) \langle u, v\rangle
(b) (\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v})

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u=(3,2,1) e \vec v=(-1,-4,-1) e pede:
(a) o produto escalar \langle u,v\rangle;
(b) o produto (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v).
Vamos usar a definição de produto escalar em \mathbb R^3 e a propriedade bilinear que leva à identidade
(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2.

Passo 2

Pela definição de produto escalar em coordenadas,
\langle u,v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.
Substituindo u_1=3, u_2=2, u_3=1 e v_1=-1, v_2=-4, v_3=-1, obtemos
\langle u,v\rangle = 3\cdot(-1) + 2\cdot(-4) + 1\cdot(-1) = -3 - 8 - 1 = -12.

Passo 3

Usamos a identidade bilinear
(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2.
Calculemos as normas ao quadrado:
\|\vec u\|^2 = 3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14,
\|\vec v\|^2 = (-1)^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = 1 + 16 + 1 = 18.
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(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v) = 14 - 18 = -4.

Resposta

(a) -12
(b) -4

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