Sejam os vetores
e
.
a) Utilizar o produto escalar para mostrar que o produto escalar de quaisquer dois deles é paralelo a o terceiro vetor.
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo a o terceiro vetor.
a) Utilizar o produto escalar para mostrar que o produto escalar de quaisquer dois deles é paralelo a o terceiro vetor.
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo a o terceiro vetor.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede duas coisas:
a) Usar o produto escalar para mostrar a propriedade pedida (avaliar as combinações necessárias).\n
b) Usar o produto vetorial para mostrar a propriedade pedida (avaliar as combinações necessárias).\n
Informações relevantes: as coordenadas dos três vetores estão acima; não há mais dados a inferir.
b) Usar o produto vetorial para mostrar a propriedade pedida (avaliar as combinações necessárias).\n
Informações relevantes: as coordenadas dos três vetores estão acima; não há mais dados a inferir.
Passo 2
Conceito e fórmula do produto escalar (aula rápida). O produto escalar entre dois vetores
e
é definido por
Geometricamente vale a identidade
onde
é o ângulo entre
e
e
é o comprimento de
. Importante para a prova: se
e nenhum dos vetores for o vetor nulo, então
e
, isto é, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Passo 3
Calcular
passo a passo usando a definição.
Agora somo termo a termo:
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Somando:
Passo 5
Calcular
passo a passo.
Somando:
Passo 6
Conclusão da parte (a): como
,
e
, os três vetores são pares de vetores ortogonais entre si (vetores mutuamente perpendiculares). Isto é exatamente o que o produto escalar nos permitiu verificar: produto escalar nulo implica ângulo de
.
Passo 7
Conceito e fórmula do produto vetorial (aula rápida). O produto vetorial
entre
e
produz um vetor
Propriedades úteis:
é ortogonal a
e a
; o comprimento satisfaz
. Se
e
são ortogonais, então
.
Passo 8
Calcular
usando a fórmula componente a componente.
Agora simplifico cada componente:
Fatorando
obtemos
Portanto
é paralelo a
.
Passo 9
Calcular
.
Simplificando:
Observamos que
. Logo
é paralelo a
.
Passo 10
Calcular
.
Simplificando:
Fatorando:
Portanto
é paralelo a
.
Passo 11
Conclusão da parte (b): cada produto vetorial de um par é um múltiplo escalar do terceiro vetor:
Isto mostra explicitamente que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor (as constantes mostram a magnitude e o sinal dá a orientação segundo a regra da mão direita).
Isto mostra explicitamente que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor (as constantes mostram a magnitude e o sinal dá a orientação segundo a regra da mão direita).
Resposta
a)
\n
b)
b)