Sejam os vetores \vec{u}=(1,-2,1), \vec{v}=(1,1,1) e \overrightarrow{\mathrm{w}}=(1,0,-1).
a) Utilizar o produto escalar para mostrar que o produto escalar de quaisquer dois deles é paralelo a o terceiro vetor.
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo a o terceiro vetor.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede duas coisas:
\vec{u}=(1,-2,1),\qquad \vec{v}=(1,1,1),\qquad \overrightarrow{\mathrm{w}}=(1,0,-1).
a) Usar o produto escalar para mostrar a propriedade pedida (avaliar as combinações necessárias).\n
b) Usar o produto vetorial para mostrar a propriedade pedida (avaliar as combinações necessárias).\n
Informações relevantes: as coordenadas dos três vetores estão acima; não há mais dados a inferir.

Passo 2

Conceito e fórmula do produto escalar (aula rápida). O produto escalar entre dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é definido por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Geometricamente vale a identidade
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b} e |\vec{a}| é o comprimento de \vec{a}. Importante para a prova: se \vec{a}\cdot\vec{b}=0 e nenhum dos vetores for o vetor nulo, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ, isto é, os vetores são ortogonais (perpendiculares).

Passo 3

Calcular \vec{u}\cdot\vec{v} passo a passo usando a definição.
\vec{u}\cdot\vec{v}=(1)\cdot(1)+(-2)\cdot(1)+(1)\cdot(1).
Agora somo termo a termo:
\vec{u}\cdot\vec{v}=1-2+1=0.

Passo 4

Calcular \vec{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}} passo a passo.
\vec{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=(1)\cdot(1)+(-2)\cdot(0)+(1)\cdot(-1).
Somando:
\vec{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=1+0-1=0.

Passo 5

Calcular \vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}} passo a passo.
\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=(1)\cdot(1)+(1)\cdot(0)+(1)\cdot(-1).
Somando:
\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=1+0-1=0.

Passo 6

Conclusão da parte (a): como \vec{u}\cdot\vec{v}=0, \vec{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=0 e \vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=0, os três vetores são pares de vetores ortogonais entre si (vetores mutuamente perpendiculares). Isto é exatamente o que o produto escalar nos permitiu verificar: produto escalar nulo implica ângulo de 90^\circ.

Passo 7

Conceito e fórmula do produto vetorial (aula rápida). O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} entre \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) produz um vetor
\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).
Propriedades úteis: \vec{a}\times\vec{b} é ortogonal a \vec{a} e a \vec{b}; o comprimento satisfaz |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\sin\theta. Se \vec{a} e \vec{b} são ortogonais, então |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\,|\vec{b}|.

Passo 8

Calcular \vec{u}\times\vec{v} usando a fórmula componente a componente.
\vec{u}\times\vec{v}=\big((-2)\cdot(1)-1\cdot(1),\;1\cdot(1)-1\cdot(1),\;1\cdot(1)-(-2)\cdot(1)\big).
Agora simplifico cada componente:
\vec{u}\times\vec{v}=(-2-1,\;1-1,\;1+2)=(-3,0,3).
Fatorando (-3,0,3) obtemos
\vec{u}\times\vec{v}=-3\,(1,0,-1)=-3\,\overrightarrow{\mathrm{w}}.
Portanto \vec{u}\times\vec{v} é paralelo a \overrightarrow{\mathrm{w}}.

Passo 9

Calcular \vec{v}\times\overrightarrow{\mathrm{w}}.
\vec{v}\times\overrightarrow{\mathrm{w}}=\big(1\cdot(-1)-1\cdot0,\;1\cdot1-1\cdot(-1),\;1\cdot0-1\cdot1\big).
Simplificando:
\vec{v}\times\overrightarrow{\mathrm{w}}=(-1-0,\;1+1,\;0-1)=(-1,2,-1).
Observamos que (-1,2,-1)=-1\,(1,-2,1)=-1\,\vec{u}. Logo \vec{v}\times\overrightarrow{\mathrm{w}} é paralelo a \vec{u}.

Passo 10

Calcular \overrightarrow{\mathrm{w}}\times\vec{u}.
\overrightarrow{\mathrm{w}}\times\vec{u}=\big(0\cdot1-(-1)\cdot(-2),\;(-1)\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot(-2)-0\cdot1\big).
Simplificando:
\overrightarrow{\mathrm{w}}\times\vec{u}=(0-2,\;-1-1,\;-2-0)=(-2,-2,-2).
Fatorando:
\overrightarrow{\mathrm{w}}\times\vec{u}=-2\,(1,1,1)=-2\,\vec{v}.
Portanto \overrightarrow{\mathrm{w}}\times\vec{u} é paralelo a \vec{v}.

Passo 11

Conclusão da parte (b): cada produto vetorial de um par é um múltiplo escalar do terceiro vetor:
\vec{u}\times\vec{v}=-3\,\overrightarrow{\mathrm{w}},\; \vec{v}\times\overrightarrow{\mathrm{w}}=-1\,\vec{u},\; \overrightarrow{\mathrm{w}}\times\vec{u}=-2\,\vec{v}.
Isto mostra explicitamente que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor (as constantes mostram a magnitude e o sinal dá a orientação segundo a regra da mão direita).

Resposta

a) \vec{u}\cdot\vec{v}=0,\qquad \vec{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=0,\qquad \vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=0.\n
b) \vec{u}\times\vec{v}=-3\,\overrightarrow{\mathrm{w}},\qquad \vec{v}\times\overrightarrow{\mathrm{w}}=-\vec{u},\qquad \overrightarrow{\mathrm{w}}\times\vec{u}=-2\,\vec{v}.

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