Dentre as alternativas abaixo, selecione aquela que represente uma equação diferencial:
(A)
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha, entre as alternativas dadas, qual delas representa uma equação diferencial. As alternativas fornecidas são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(B)
(C)
(D)
(E)
Meu objetivo aqui é identificar, entre essas cinco expressões, qual contém uma equação envolvendo derivadas (isto é, uma equação diferencial).
Passo 2
O que é uma equação diferencial? Vou explicar de um jeito bem direto e sem enrolação.
- Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma função desconhecida (aqui aparece como
) com uma ou mais derivadas dessa função (por exemplo , , etc.). - A notação
significa a derivada de em relação à variável independente (geralmente ); é a taxa de variação de em relação a . Por exemplo, se isso quer dizer que a inclinação da função é constante igual a . - Exemplos rápidos para fixar:
é uma equação diferencial de primeira ordem; é uma equação diferencial de segunda ordem. Já expressões como não são equações diferenciais porque não envolvem derivadas.
Agora vou verificar cada alternativa procurando presença (ou ausência) de derivadas.
Passo 3
Analisando a alternativa (A):
.
- Aqui aparece apenas
e , sem nenhum símbolo de derivada como ou . - Portanto (A) é uma equação algébrica que define uma função linear, não uma equação diferencial.
Passo 4
Analisando a alternativa (B):
.
- Nesta expressão aparecem claramente derivadas: o termo
é a derivada de . Logo já atende ao requisito de conter derivadas. - Podemos simplificar os termos semelhantes:
. Assim a equação fica
- Isolando a derivada, obtemos
- Isso é uma equação diferencial de primeira ordem (pois envolve apenas
) e bastante simples: diz que a derivada de é constante. Se quiséssemos resolver rapidamente, integraríamos em relação a e obteríamos
onde
é a constante de integração. Mas o enunciado só pede identificar qual alternativa é uma equação diferencial, então a presença de
já basta.
Passo 5
Analisando a alternativa (C):
.
- Semelhante à (A), aparece apenas
e , sem derivadas. Logo (C) não é uma equação diferencial; é só uma função linear.
Passo 6
Analisando a alternativa (D):
.
- Novamente, apenas
e , sem símbolos de derivada. Então (D) também não é uma equação diferencial — é uma função polinomial.
Passo 7
Analisando a alternativa (E):
.
- Esta é uma equação exponencial envolvendo
, sem nenhuma derivada de ou de outra função. Não é uma equação diferencial.
Passo 8
Conclusão do raciocínio: entre todas as alternativas, apenas a (B) contém derivada (
), portanto é a única que representa uma equação diferencial (especificamente uma equação diferencial ordinária de primeira ordem).
Resposta
(B)