Dentre as alternativas abaixo, selecione aquela que represente uma equação diferencial:
(A) y=x+4
(B) y^{\prime}+2 y^{\prime}-4=0.
(C) y=2 x+1.
(D) y=x^{3}.
(E) 3.2^{x+1}=16.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha, entre as alternativas dadas, qual delas representa uma equação diferencial. As alternativas fornecidas são:
(A) y=x+4
(B) y^{\prime}+2 y^{\prime}-4=0
(C) y=2 x+1
(D) y=x^{3}
(E) 3.2^{x+1}=16
Meu objetivo aqui é identificar, entre essas cinco expressões, qual contém uma equação envolvendo derivadas (isto é, uma equação diferencial).

Passo 2

O que é uma equação diferencial? Vou explicar de um jeito bem direto e sem enrolação.
  • Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma função desconhecida (aqui aparece como y) com uma ou mais derivadas dessa função (por exemplo \,y', \,y'', etc.).
  • A notação \,y' significa a derivada de y em relação à variável independente (geralmente x); é a taxa de variação de y em relação a x. Por exemplo, se \,y'=2 isso quer dizer que a inclinação da função é constante igual a 2.
  • Exemplos rápidos para fixar: \,y'=3x é uma equação diferencial de primeira ordem; \,y''+y=0 é uma equação diferencial de segunda ordem. Já expressões como \,y=2x+1 não são equações diferenciais porque não envolvem derivadas.
Agora vou verificar cada alternativa procurando presença (ou ausência) de derivadas.

Passo 3

Analisando a alternativa (A): y=x+4.
  • Aqui aparece apenas y e x, sem nenhum símbolo de derivada como \,y' ou \,y''.
  • Portanto (A) é uma equação algébrica que define uma função linear, não uma equação diferencial.

Passo 4

Analisando a alternativa (B): y^{\prime}+2 y^{\prime}-4=0.
  • Nesta expressão aparecem claramente derivadas: o termo \,y^{\prime} é a derivada de y. Logo já atende ao requisito de conter derivadas.
  • Podemos simplificar os termos semelhantes: \,y^{\prime}+2 y^{\prime}=3y^{\prime}. Assim a equação fica
3y^{\prime}-4=0.
  • Isolando a derivada, obtemos
y^{\prime}=\frac{4}{3}.
  • Isso é uma equação diferencial de primeira ordem (pois envolve apenas \,y^{\prime}) e bastante simples: diz que a derivada de y é constante. Se quiséssemos resolver rapidamente, integraríamos \,y'=\tfrac{4}{3} em relação a x e obteríamos
y=\frac{4}{3}x+C,
onde C é a constante de integração. Mas o enunciado só pede identificar qual alternativa é uma equação diferencial, então a presença de \,y^{\prime} já basta.

Passo 5

Analisando a alternativa (C): y=2 x+1.
  • Semelhante à (A), aparece apenas y e x, sem derivadas. Logo (C) não é uma equação diferencial; é só uma função linear.

Passo 6

Analisando a alternativa (D): y=x^{3}.
  • Novamente, apenas y e x, sem símbolos de derivada. Então (D) também não é uma equação diferencial — é uma função polinomial.

Passo 7

Analisando a alternativa (E): 3.2^{x+1}=16.
  • Esta é uma equação exponencial envolvendo x, sem nenhuma derivada de y ou de outra função. Não é uma equação diferencial.

Passo 8

Conclusão do raciocínio: entre todas as alternativas, apenas a (B) contém derivada ( y^{\prime}), portanto é a única que representa uma equação diferencial (especificamente uma equação diferencial ordinária de primeira ordem).

Resposta

(B)

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