Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
onde
é a curva
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular
.
Informações dadas:
e a curva paramétrica
O intervalo de parâmetro é
.
Não há figura a usar; todos os dados necessários estão acima.
Não há figura a usar; todos os dados necessários estão acima.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (enunciada de forma direta e útil para a prova):
Se
é um campo vetorial de gradiente, ou seja, existe uma função escalar
tal que
, então a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha diz:
onde
e
são os limites do parâmetro (aqui
e
).
Explicando: , então se conseguimos achar
tal que
,
,
batem com as componentes de
, podemos aplicar essa fórmula e só avaliar
nos extremos da curva.
Explicando:
Passo 3
Vamos procurar a potencial
. Começamos pela componente
:
Integrando em relação a
(tratando
como constantes) obtemos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 4
Agora usamos a componente
de
para achar
. Diferenciando a expressão acima em relação a
temos
Como a componente
do campo é
, igualamos:
Isso diz que
não depende de
; logo
para alguma função
de
só.
Passo 5
Finalmente usamos a componente
. A derivada em
de
é
Como a componente
de
é
, igualamos:
Logo
é constante. Podemos escolher a constante zero (não altera o gradiente). Assim uma potencial válida é
Passo 6
Aplicando o teorema fundamental para integrais de linha:
Precisamos avaliar
ao longo da parametrização
. Substituindo
em
obtemos a função de
Passo 7
Avaliação nos extremos:
Para
:
Para
:
calcule passo a passo:
calcule passo a passo:
Multiplicando:
Passo 8
Portanto