Sejam W1 e W2 subespaços de R^5. Determine a dim(W2), sabendo que
W1 cap W2=[(1,-1,-2,0,0),(2,1,-1,0,0),(1,2,1,0,0)], dim(W1+W2)=4
e (1,2,1,0,0),(0,1,1,0,0) é uma base de W1. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços W1 e W2 de R^5, com
W1cap W2=span(1,-1,-2,0,0),,(2,1,-1,0,0),,(1,2,1,0,0),
dim(W1+W2)=4 e uma base de W1 formada pelos vetores (1,2,1,0,0),(0,1,1,0,0).
O conteúdo principal é o Teorema da Dimensão (ou Fórmula de Grassmann) para somas e intersecções de subespaços.

Passo 2

Primeiro, da base de W1 concluímos imediatamente que
dim(W1)=2
Agora vamos determinar dim(W1cap W2) analisando a independência dos três vetores
v1=(1,-1,-2,0,0), v2=(2,1,-1,0,0), v3=(1,2,1,0,0)
Note que, nos três primeiros componentes,
v2-v1=(2-1,;1-(-1),;-1-(-2))=(1,2,1)=v3
Logo v3=v2-v1, e apenas v1,v2 são linearmente independentes. Portanto
dim(W1cap W2)=2

Passo 3

Aplicamos o Teorema da Dimensão, que diz
dim(W1)+dim(W2) =dim(W1+W2)+dim(W1cap W2)

Passo 4

Substituindo os valores que já temos: dim(W1)=2, dim(W1+W2)=4 e dim(W1cap W2)=2, vem
2 + dim(W2) = 4 + 2 Longrightarrow dim(W2) = 6 - 2 = 4

Resposta

4

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