Sabendo que R^4=V oplus W e V=[(1,2,3,4),(3,6,9,12)], determine a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado diz que R^4=Voplus W e que
V=span(1,2,3,4),(3,6,9,12)
O conteúdo aqui é dimensão de soma direta: quando R^4=Voplus W, vale
dimR^4=dim V+dim W
Nosso objetivo é calcular dim W.

Passo 2

Para achar dim V, primeiro verificamos se (1,2,3,4) e (3,6,9,12) são linearmente independentes. Buscamos lambda tal que
(3,6,9,12)=lambda,(1,2,3,4)
Comparando coordenadas, temos lambda=3 em todas as componentes, logo os vetores são dependentes.

Passo 3

Como os dois vetores são dependentes, a base de V pode ser reduzida a um único vetor. Portanto
dim V = 1

Passo 4

Usando a relação da soma direta,
dimR^4 = dim V + dim W
substituímos dimR^4=4 e dim V=1, obtendo
4 = 1 + dim W Longrightarrow dim W = 3

Resposta

dim W = 3.

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