Sejam
uma amostra aleatória da distribuição Rayleigh com parâmetro de escala
. A função de densidade de probabilidade é dada por:
Sabendo que o valor esperado dessa distribuição é
:
(a) Obtenha o estimador de
pelo Método dos Momentos.
(b) Verifique se este estimador é não-viesado.
(a) Obtenha o estimador de
(b) Verifique se este estimador é não-viesado.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Dado:
i.i.d. com densidade
onde
é o parâmetro de escala desconhecido.
- Informação adicional dada: o valor esperado é
- O enunciado pede:
(a) obter o estimador depelo Método dos Momentos;
(b) verificar se esse estimador é não-viesado.
Observações importantes que vou usar depois:
- A média amostral é definida por
. - No Método dos Momentos, igualamos momentos amostrais a momentos populacionais correspondentes e resolvemos para o parâmetro.
Passo 2
Relembre do Método dos Momentos (passo a passo e com explicação didática).
- Ideia: o primeiro momento populacional é
. O primeiro momento amostral é a média amostral . O Método dos Momentos sugere substituir o momento populacional desconhecido pelo momento amostral correspondente e resolver para o parâmetro desconhecido. - Em símbolos: se
depende do parâmetro (aqui ), e o momento amostral é , então definimos o estimador por
e resolvemos essa equação para
.
- Propriedades úteis: a média amostral
tem esperança (por linearidade da esperança) — vou usar isso depois para checar viés.
Passo 3
Aplicando o Método dos Momentos ao nosso caso: igualar a média amostral à esperança dada.
A esperança populacional dada é
. Pelo Método dos Momentos tomamos
Agora resolvemos essa igualdade em relação a
.
Passo 4
Resolver a equação para
. Passos algébricos claros:
Começando de
isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a raiz recíproca usamos
, portanto
Passo 5
Interpretação do estimador encontrado.
- O estimador pelo Método dos Momentos é a constante
multiplicada pela média amostral . - Em notação explícita:
onde
.
Passo 6
Verificação se
é não-viesado (explicando cada passo).
- Um estimador
é não-viesado para se . - Calcular
. Usamos linearidade da esperança (que diz que para constante ) e o fato de :
- Sabendo que
e que (dado no enunciado), obtemos
- Multiplicando as raízes:
logo
- Conclusão: a esperança do estimador é exatamente
, portanto é não-viesado.
Resposta
(a)
(b) Sim. logo o estimador é não-viesado.
(b) Sim.