Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória da distribuição Rayleigh com parâmetro de escala \sigma>0. A função de densidade de probabilidade é dada por:
f(x ; \sigma)=\frac{x}{\sigma^{2}} e^{-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}, \quad x>0
Sabendo que o valor esperado dessa distribuição é E(X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} :
(a) Obtenha o estimador de \sigma pelo Método dos Momentos.
(b) Verifique se este estimador é não-viesado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dado: X_{1},\dots,X_{n} i.i.d. com densidade
f(x;\sigma)=\frac{x}{\sigma^{2}}e^{-x^{2}/(2\sigma^{2})},\qquad x>0,
onde \sigma>0 é o parâmetro de escala desconhecido.
  • Informação adicional dada: o valor esperado é
E(X)=\sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}.
  • O enunciado pede:
    (a) obter o estimador de \sigma pelo Método dos Momentos;
    (b) verificar se esse estimador é não-viesado.
Observações importantes que vou usar depois:
  • A média amostral é definida por \displaystyle \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
  • No Método dos Momentos, igualamos momentos amostrais a momentos populacionais correspondentes e resolvemos para o parâmetro.

Passo 2

Relembre do Método dos Momentos (passo a passo e com explicação didática).
  • Ideia: o primeiro momento populacional é E(X). O primeiro momento amostral é a média amostral \bar X. O Método dos Momentos sugere substituir o momento populacional desconhecido pelo momento amostral correspondente e resolver para o parâmetro desconhecido.
  • Em símbolos: se m_1(\theta)=E(X) depende do parâmetro \theta (aqui \theta=\sigma), e o momento amostral é \bar X, então definimos o estimador \hat\theta_{MM} por
\bar X = m_1(\hat\theta_{MM}),
e resolvemos essa equação para \hat\theta_{MM}.
  • Propriedades úteis: a média amostral \bar X tem esperança E(\bar X)=E(X) (por linearidade da esperança) — vou usar isso depois para checar viés.

Passo 3

Aplicando o Método dos Momentos ao nosso caso: igualar a média amostral à esperança dada.
A esperança populacional dada é E(X)=\sigma\sqrt{{\pi}/{2}}. Pelo Método dos Momentos tomamos
\bar X = \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}.
Agora resolvemos essa igualdade em relação a \sigma.

Passo 4

Resolver a equação para \sigma. Passos algébricos claros:
Começando de
\bar X = \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}},
isolamos \sigma dividindo ambos os lados por \sqrt{\pi/2}:
\sigma = \frac{\bar X}{\sqrt{\pi/2}}.
Simplificando a raiz recíproca usamos \dfrac{1}{\sqrt{\pi/2}}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}, portanto
\hat\sigma_{MM}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\bar X.

Passo 5

Interpretação do estimador encontrado.
  • O estimador pelo Método dos Momentos é a constante \sqrt{2/\pi} multiplicada pela média amostral \bar X.
  • Em notação explícita:
\hat\sigma_{MM}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\bar X
onde \bar X=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.

Passo 6

Verificação se \hat\sigma_{MM} é não-viesado (explicando cada passo).
  • Um estimador \hat\theta é não-viesado para \theta se E(\hat\theta)=\theta.
  • Calcular E(\hat\sigma_{MM}). Usamos linearidade da esperança (que diz que E(cY)=cE(Y) para constante c) e o fato de E(\bar X)=E(X):
E(\hat\sigma_{MM})=E\!\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\bar X\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;E(\bar X).
  • Sabendo que E(\bar X)=E(X) e que E(X)=\sigma\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} (dado no enunciado), obtemos
E(\hat\sigma_{MM})=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\left(\sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right).
  • Multiplicando as raízes:
\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\sqrt{\frac{\pi}{2}}=1,
logo
E(\hat\sigma_{MM})=\sigma.
  • Conclusão: a esperança do estimador é exatamente \sigma, portanto \hat\sigma_{MM} é não-viesado.

Resposta

(a) \displaystyle \hat\sigma_{MM}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\bar X.
(b) Sim. \displaystyle E(\hat\sigma_{MM})=\sigma, logo o estimador é não-viesado.

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