Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória extraída de uma polução X. Encontre estimador de \theta usado o método de máxima verossimilhança quando X tem distribuição:
Geomtrica (\theta).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória X_{1},\ldots,X_{n} da população X e pede para encontrar um estimador de \theta pelo método da máxima verossimilhança (MLE), quando X tem distribuição Geométrica (\theta). Informações relevantes fornecidas:
X_{1},\ldots,X_{n}\\ \text{são i.i.d. Geom}(\theta).ã
Qual é a pergunta explicitamente: encontrar o estimador de \theta obtido por máxima verossimilhança a partir dessa amostra.
Observação importante (decisão que faço para resolver): a notação “Geométrica (\theta)” é ambígua porque há duas parametrizações comuns. Vou assumir primeiro a parametrização mais usada em estatística elementar no Brasil, cuja função de massa é
P(X=k)= (1-\theta)^{\,k-1}\,\theta,\qquad k=1,2,\ldots,
ou seja, X conta o número de ensaios até o primeiro sucesso (esperança E[X]=1/\theta). Mais adiante eu mostro também o caso alternativo (onde o suporte é k=0,1,2,\ldots) e dou a fórmula correspondente.

Passo 2

O que é o método da máxima verossimilhança (explicação didática): dado um modelo paramétrico com parâmetro \theta e observações x_{1},\ldots,x_{n}, definimos a função verossimilhança como a função do parâmetro que mede a “probabilidade” dos dados observados:
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n} f(x_{i};\theta),
onde f é a função de massa de probabilidade (pmf) no nosso caso discreto. O MLE \hat\theta é o valor de \theta que maximiza L(\theta). Na prática trabalhamos com o log-verossimilhança
\ell(\theta)=\ln L(\theta),
porque transforma produtos em somas, simplifica derivadas e preserva o ponto de máximo (log é monotonicamente crescente). Para encontrar o máximo derivamos \ell(\theta) em relação a \theta, igualamos a zero e verificamos que é máximo (segunda derivada negativa). Isso é o plano geral — agora aplicamos ao nosso caso concreto.

Passo 3

Escrever a pmf e a verossimilhança (usando a parametrização escolhida). Para a pmf escolhida temos, para uma observação x_{i},
P(X_{i}=x_{i})=(1-\theta)^{\,x_{i}-1}\,\theta.
Assim, a verossimilhança da amostra é
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n} \big[(1-\theta)^{\,x_{i}-1}\,\theta\big].

Passo 4

Simplificar a verossimilhança usando propriedades de potências e a média amostral \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}. Calculamos:
L(\theta)=\theta^{n}\,(1-\theta)^{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-1)}.
Agora \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-1)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}-n = n\bar{X}-n = n(\bar{X}-1). Portanto
L(\theta)=\theta^{n}\,(1-\theta)^{\,n(\bar{X}-1)}.

Passo 5

Calcular a log-verossimilhança e a sua derivada. A log-verossimilhança é
\ell(\theta)=\ln L(\theta)= n\ln\theta + n(\bar{X}-1)\ln(1-\theta).
Agora derivamos em relação a \theta. Lembrete rápido: \dfrac{d}{d\theta}\ln\theta = \dfrac{1}{\theta} e \dfrac{d}{d\theta}\ln(1-\theta)= -\dfrac{1}{1-\theta}. Aplicando isso,
\frac{d\ell}{d\theta} = \frac{n}{\theta} + n(\bar{X}-1)\cdot\left(-\frac{1}{1-\theta}\right) = \frac{n}{\theta} - \frac{n(\bar{X}-1)}{1-\theta}.

Passo 6

Achar o ponto crítico igualando a derivada a zero e resolver para \theta. Igualando:
\frac{n}{\theta} - \frac{n(\bar{X}-1)}{1-\theta}=0.
Podemos dividir por n (não zero) e obter
\frac{1}{\theta} = \frac{\bar{X}-1}{1-\theta}.
Rearranjando: 1-\theta = \theta(\bar{X}-1). Somando \theta aos dois lados,
1 = \theta \bar{X}.
Portanto o estimador encontrado é
\hat{\theta}=\frac{1}{\bar{X}}.

Passo 7

Verificar que é máximo (segunda derivada). Calculamos a segunda derivada de \ell(\theta):
\frac{d^{2}\ell}{d\theta^{2}} = -\frac{n}{\theta^{2}} - \frac{n(\bar{X}-1)}{(1-\theta)^{2}}.
Esse valor é sempre negativo para 0<\theta<1 e \bar{X}\ge 1, porque são somas de termos negativos. Logo o ponto crítico \hat\theta=1/\bar{X} é um máximo local e, como a log-verossimilhança é estritamente côncava no intervalo admissível, é o máximo global: é o MLE.

Passo 8

Discussão didática e intuições finais
  • Verificação de domínio: para a parametrização usada temos E[X]=1/\theta\ge 1, então \bar{X}\ge 1 (na prática amostral), e \hat\theta=1/\bar{X}\in(0,1]. Se \bar{X}=1 (caso extremo), \hat\theta=1 (todas as observações foram 1). Se \bar{X} for grande, \hat\theta fica pequeno — faz sentido: média grande indica sucesso raro.
  • Consistência (intuição): como \bar{X} converge em probabilidade para E[X]=1/\theta (Lei dos Grandes Números), temos \hat\theta=1/\bar{X} convergindo para \theta. Ou seja, o estimador é consistente.
  • Viés: \hat\theta em geral é viesado (não é, em geral, verdade que E[1/\bar{X}]=\theta para amostras finitas), mas é consistente. Em provas normalmente pedem só o MLE, não o viés.
  • Exemplo numérico rápido para fixar: se n=5 e os dados forem 1,2,3,1,4, então \bar{X}=(1+2+3+1+4)/5=11/5=2{,}2 e
\hat{\theta}=\frac{1}{2{,}2}\approx 0{,}4545.

Passo 9

Observação sobre a outra parametrização comum (caso o enunciado usasse suporte a partir de 0). Se a Geométrica fosse definida por
P(X=k)= (1-\theta)^{k}\,\theta,\qquad k=0,1,2,\ldots,
então seguindo exatamente os mesmos passos teríamos a verossimilhança
L(\theta)=\theta^{n}(1-\theta)^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}},
log-verossimilhança \ell(\theta)=n\ln\theta + (\sum x_{i})\ln(1-\theta), derivada \dfrac{n}{\theta} - \dfrac{\sum x_{i}}{1-\theta}=0, e daí
\hat{\theta}=\frac{1}{1+\bar{X}}.
Portanto, dependendo da convenção de suporte a resposta muda — por isso deixei as duas fórmulas: a primeira foi a que usei por padrão (suporte 1,2,\ldots), e a segunda é para o caso suporte 0,1,2,\ldots.

Resposta

\hat{\theta}=\dfrac{1}{\bar{X}} (para a parametrização com P(X=k)=(1-\theta)^{k-1}\theta,\\ k=1,2,\ldots).
\hat{\theta}=\dfrac{1}{1+\bar{X}} (se a parametrização for P(X=k)=(1-\theta)^{k}\theta,\\ k=0,1,2,\ldots).

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