Sejam
uma amostra aleatória extraída de uma polução
. Encontre estimador de
usado o método de máxima verossimilhança quando
tem distribuição:
Geomtrica
.
Geomtrica
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória
da população
e pede para encontrar um estimador de
pelo método da máxima verossimilhança (MLE), quando
tem distribuição Geométrica
. Informações relevantes fornecidas:
Qual é a pergunta explicitamente: encontrar o estimador de
obtido por máxima verossimilhança a partir dessa amostra.
Observação importante (decisão que faço para resolver): a notação “Geométrica
” é ambígua porque há duas parametrizações comuns. Vou assumir primeiro a parametrização mais usada em estatística elementar no Brasil, cuja função de massa é
ou seja,
conta o número de ensaios até o primeiro sucesso (esperança
). Mais adiante eu mostro também o caso alternativo (onde o suporte é
) e dou a fórmula correspondente.
Passo 2
O que é o método da máxima verossimilhança (explicação didática): dado um modelo paramétrico com parâmetro
e observações
, definimos a função verossimilhança como a função do parâmetro que mede a “probabilidade” dos dados observados:
onde
é a função de massa de probabilidade (pmf) no nosso caso discreto. O MLE
é o valor de
que maximiza
. Na prática trabalhamos com o log-verossimilhança
porque transforma produtos em somas, simplifica derivadas e preserva o ponto de máximo (log é monotonicamente crescente). Para encontrar o máximo derivamos
em relação a
, igualamos a zero e verificamos que é máximo (segunda derivada negativa). Isso é o plano geral — agora aplicamos ao nosso caso concreto.
Passo 3
Escrever a pmf e a verossimilhança (usando a parametrização escolhida). Para a pmf escolhida temos, para uma observação
,
Assim, a verossimilhança da amostra é
Passo 4
Simplificar a verossimilhança usando propriedades de potências e a média amostral
. Calculamos:
Agora
. Portanto
Passo 5
Calcular a log-verossimilhança e a sua derivada. A log-verossimilhança é
Agora derivamos em relação a
. Lembrete rápido:
e
. Aplicando isso,
Passo 6
Achar o ponto crítico igualando a derivada a zero e resolver para
. Igualando:
Podemos dividir por
(não zero) e obter
Rearranjando:
. Somando
aos dois lados,
Portanto o estimador encontrado é
Passo 7
Verificar que é máximo (segunda derivada). Calculamos a segunda derivada de
:
Esse valor é sempre negativo para
e
, porque são somas de termos negativos. Logo o ponto crítico
é um máximo local e, como a log-verossimilhança é estritamente côncava no intervalo admissível, é o máximo global: é o MLE.
Passo 8
Discussão didática e intuições finais
- Verificação de domínio: para a parametrização usada temos
, então (na prática amostral), e . Se (caso extremo), (todas as observações foram ). Se for grande, fica pequeno — faz sentido: média grande indica sucesso raro. - Consistência (intuição): como
converge em probabilidade para (Lei dos Grandes Números), temos convergindo para . Ou seja, o estimador é consistente. - Viés:
em geral é viesado (não é, em geral, verdade que para amostras finitas), mas é consistente. Em provas normalmente pedem só o MLE, não o viés. - Exemplo numérico rápido para fixar: se
e os dados forem , então e
Passo 9
Observação sobre a outra parametrização comum (caso o enunciado usasse suporte a partir de
). Se a Geométrica fosse definida por
então seguindo exatamente os mesmos passos teríamos a verossimilhança
log-verossimilhança
, derivada
, e daí
Portanto, dependendo da convenção de suporte a resposta muda — por isso deixei as duas fórmulas: a primeira foi a que usei por padrão (suporte
), e a segunda é para o caso suporte
.