Seja uma população co função probabilidade
Sabe-se que
. Selecionada uma a.a. de tamanho 1000 observou se
.
(a) Obtenha uma estimativa para
pelo método dos momentos.
(b) Determine o estimador de máxima verossimilhança para
.
(a) Obtenha uma estimativa para
(b) Determine o estimador de máxima verossimilhança para
Passo 1
O enunciado dá uma população com função de probabilidade
(talvez tenha um pequeno erro de digitação em
; vou trabalhar como se a sequência fosse
, que é o caso padrão desta família). Sabe-se também que
Foi selecionada uma amostra aleatória de tamanho
e observou-se
O enunciado pede:
(a) obter uma estimativa para pelo método dos momentos;
(b) determinar o estimador de máxima verossimilhança para .
(a) obter uma estimativa para
(b) determinar o estimador de máxima verossimilhança para
Passo 2
Entendendo o método dos momentos (mini-aula): a ideia é simples e muito usada na prova — a primeira estimativa pelo método dos momentos iguala a média amostral à esperança teórica da distribuição. Ou seja, se
é a média teórica, e
é a média observada, então o estimador pelo 1º momento é obtido resolvendo
Aqui, a média amostral é
Vamos calcular
com os dados: como
e
,
A esperança teórica dada no enunciado é
. Agora igualamos:
Vou resolver essa equação passo a passo (álgebra básica, faça isso na prova devagar):
Isolando
,
Invertendo ambos os lados para obter
,
Substituímos
:
Podemos simplificar essa fração:
. Em forma decimal,
Comentário prático: é comum deixar como fração exata
ou como decimal com 4–5 casas.
Passo 3
Entendendo a máxima verossimilhança (mini-aula): a verossimilhança é a função que dá, para cada valor de
, a probabilidade de observar a amostra que tivemos. Para amostras independentes, multiplicamos as probabilidades ponto a ponto. Em seguida costuma-se trabalhar com o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança) porque transforma produto em soma e facilita derivação. O estimador de máxima verossimilhança (MLE) é o valor de
que maximiza essa função (tipicamente encontrado resolvendo a derivada igual a zero e verificando que é máximo).
Vamos montar a função de verossimilhança para esta amostra. Como as observações são independentes,
Fatorando,
É mais fácil trabalhar com o logaritmo:
Para achar o máximo, derivamos em relação a
e igualamos a zero. Calcule a derivada com cuidado (derivada de
é
; derivada de
é
por regra da cadeia):
Igualando a zero para encontrar o ponto crítico:
Denotando
, reorganizamos a equação:
Expandindo e isolando
:
Logo
Agora substituímos os números:
e
,
Verificação de máximo (breve): a segunda derivada é
que é negativa para
, portanto o ponto crítico é de fato um máximo.
Passo 4
Interpretando o resultado e dica para prova: aqui tanto o estimador pelo método dos momentos quanto o de máxima verossimilhança coincidiram numericamente — isso acontece porque a equação do momento ficou equivalente à equação da MLE para essa família (distribuição geométrica com suporte começando em zero). Na prova, sempre compute a média amostral com calma e faça as manipulações algébricas passo a passo como fizemos; verifique também a segunda derivada ao obter a MLE para garantir que é máximo.
Resposta
(a)
(b)