Seja uma população co função probabilidade
f(x \mid \theta)=\theta(1-\theta)^{x}, \quad x=0,2,3, \ldots \quad \text { e } 0<\theta<1
Sabe-se que E(X)=\frac{1-\theta}{\theta}. Selecionada uma a.a. de tamanho 1000 observou se \sum_{i=1}^{1000} x_{i}=980.
(a) Obtenha uma estimativa para \theta pelo método dos momentos.
(b) Determine o estimador de máxima verossimilhança para \theta.

Passo 1

O enunciado dá uma população com função de probabilidade
f(x\mid \theta)=\theta(1-\theta)^{x},\quad x=0,2,3,\ldots,\quad 0<\theta<1
(talvez tenha um pequeno erro de digitação em x; vou trabalhar como se a sequência fosse x=0,1,2,\ldots, que é o caso padrão desta família). Sabe-se também que
E(X)=\frac{1-\theta}{\theta}.
Foi selecionada uma amostra aleatória de tamanho n=1000 e observou-se
\sum_{i=1}^{1000} x_i = 980.
O enunciado pede:
(a) obter uma estimativa para \theta pelo método dos momentos;
(b) determinar o estimador de máxima verossimilhança para \theta.

Passo 2

Entendendo o método dos momentos (mini-aula): a ideia é simples e muito usada na prova — a primeira estimativa pelo método dos momentos iguala a média amostral à esperança teórica da distribuição. Ou seja, se \mu(\theta)=E(X) é a média teórica, e \bar X é a média observada, então o estimador pelo 1º momento é obtido resolvendo
\bar X=\mu(\theta).
Aqui, a média amostral é
\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Vamos calcular \bar X com os dados: como n=1000 e \sum x_i=980,
\bar X=\frac{980}{1000}=0,98.
A esperança teórica dada no enunciado é \mu(\theta)=\dfrac{1-\theta}{\theta}. Agora igualamos:
\bar X=\frac{1-\theta}{\theta}.
Vou resolver essa equação passo a passo (álgebra básica, faça isso na prova devagar):
\bar X=\frac{1-\theta}{\theta}\quad\Rightarrow\quad \bar X=\frac{1}{\theta}-1.
Isolando 1/\theta,
\frac{1}{\theta}=\bar X+1.
Invertendo ambos os lados para obter \theta,
\theta=\frac{1}{\bar X+1}.
Substituímos \bar X=0,98:
\hat\theta_{\text{MM}}=\frac{1}{0,98+1}=\frac{1}{1,98}.
Podemos simplificar essa fração: \dfrac{1}{1{,}98}=\dfrac{100}{198}=\dfrac{50}{99}. Em forma decimal,
\hat\theta_{\text{MM}}=\frac{50}{99}\approx 0{,}50505.
Comentário prático: é comum deixar como fração exata \dfrac{50}{99} ou como decimal com 4–5 casas.

Passo 3

Entendendo a máxima verossimilhança (mini-aula): a verossimilhança é a função que dá, para cada valor de \theta, a probabilidade de observar a amostra que tivemos. Para amostras independentes, multiplicamos as probabilidades ponto a ponto. Em seguida costuma-se trabalhar com o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança) porque transforma produto em soma e facilita derivação. O estimador de máxima verossimilhança (MLE) é o valor de \theta que maximiza essa função (tipicamente encontrado resolvendo a derivada igual a zero e verificando que é máximo).
Vamos montar a função de verossimilhança para esta amostra. Como as observações são independentes,
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n} \theta(1-\theta)^{x_i}.
Fatorando,
L(\theta)=\theta^{n}(1-\theta)^{\sum_{i=1}^{n} x_i}.
É mais fácil trabalhar com o logaritmo:
\ell(\theta)=\ln L(\theta)=n\ln\theta+\Big(\sum_{i=1}^{n} x_i\Big)\ln(1-\theta).
Para achar o máximo, derivamos em relação a \theta e igualamos a zero. Calcule a derivada com cuidado (derivada de \ln\theta é 1/\theta; derivada de \ln(1-\theta) é -1/(1-\theta) por regra da cadeia):
\frac{d\ell}{d\theta}=\frac{n}{\theta}-\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{1-\theta}.
Igualando a zero para encontrar o ponto crítico:
\frac{n}{\theta}-\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{1-\theta}=0.
Denotando S=\sum_{i=1}^{n} x_i, reorganizamos a equação:
\frac{n}{\theta}=\frac{S}{1-\theta}\quad\Rightarrow\quad n(1-\theta)=S\theta.
Expandindo e isolando \theta:
n - n\theta = S\theta \quad\Rightarrow\quad n = \theta(n+S).
Logo
\hat\theta_{\text{MLE}}=\frac{n}{n+S}.
Agora substituímos os números: n=1000 e S=980,
\hat\theta_{\text{MLE}}=\frac{1000}{1000+980}=\frac{1000}{1980}=\frac{100}{198}=\frac{50}{99}\approx 0{,}50505.
Verificação de máximo (breve): a segunda derivada é
\frac{d^2\ell}{d\theta^2}=-\frac{n}{\theta^2}-\frac{S}{(1-\theta)^2},
que é negativa para 0<\theta<1, portanto o ponto crítico é de fato um máximo.

Passo 4

Interpretando o resultado e dica para prova: aqui tanto o estimador pelo método dos momentos quanto o de máxima verossimilhança coincidiram numericamente — isso acontece porque a equação do momento ficou equivalente à equação da MLE para essa família (distribuição geométrica com suporte começando em zero). Na prova, sempre compute a média amostral com calma e faça as manipulações algébricas passo a passo como fizemos; verifique também a segunda derivada ao obter a MLE para garantir que é máximo.

Resposta

(a) \hat\theta_{\text{MM}}=\dfrac{50}{99}\approx 0{,}50505
(b) \hat\theta_{\text{MLE}}=\dfrac{50}{99}\approx 0{,}50505

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