Sejam
uma amostra aleatória extraída de uma polução
. Encontre estimador de
usado o método de máxima verossimilhança quando
tem distribuição:
.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória
com observações independentes vindas da mesma distribuição binomial. O enunciado original escreveu
, mas aí houve uma ambiguidade porque já usamos
para o tamanho da amostra. Para evitar confusão, vou renomear o número de ensaios da binomial para
(número conhecido de tentativas por observação) e manter
como tamanho da amostra. Assim temos:
- Cada
é uma v.a. discreta com distribuição (ou seja, número de sucessos em ensaios, probabilidade de sucesso ). - Observações
são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). - O que se pede: encontrar o estimador de
pelo método da máxima verossimilhança (MLE).
Passo 2
Escrevendo a função de massa de probabilidade (pmf) de cada
:
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
sucessos em
ensaios),
representa a contribuição das probabilidades dos sucessos e
a dos fracassos. Como as observações são independentes, a verossimilhança (função que dá a probabilidade conjunta das observações como função de
) é o produto das pmf’s individuais:
Agora vamos simplificar esse produto. Note que os coeficientes binomiais não dependem de
, então podem ser agrupados numa constante. Somando os expoentes de
e de
obtemos:
Defina
. Então
onde
é constante em
.
Passo 3
Para maximizar a verossimilhança é mais simples trabalhar com o log-verossimilhança (o log transforma o produto em soma e preserva o local do máximo). Definimos
. Como
é constante em
,
A derivada da log-verossimilhança em relação a
(usando regras básicas: derivada de
é
, e de
é
) é
Explico: a parte
produz
e a parte
produz
.
Passo 4
O estimador de máxima verossimilhança
é encontrado resolvendo
(pontos críticos) e verificando que é máximo. Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Desenvolvendo:
Logo
Em termos da média amostral
, podemos escrever também
Interpretação intuitiva:
é a proporção total de sucessos observados dividida pelo número total de ensaios (
), ou a média de sucessos por ensaio
dividida por
.
Passo 5
Precisamos verificar que esse ponto crítico realmente é um máximo da log-verossimilhança (e não um mínimo). Calcule a segunda derivada:
Como ambos os termos à direita são negativos (somas de termos positivos com sinal negativo),
para
. Portanto
é de fato um ponto de máximo (log-verossimilhança côncava), logo é o MLE.
Passo 6
Algumas observações úteis para a prova (resumo das propriedades que costumam pedir):
- Consistência/expectation: como
, temos , então . Ou seja, é não-viesado. - Variância:
, então e
Essas fórmulas dizem que o estimador se concentra em torno de
quando
cresce.