Use o Princípio da Indução para provar que n^{3}+5 n é divisível por 6, \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se provar que, para todo n natural, o número n^{3}+5n é divisível por 6.
  • Ser divisível por 6 significa que existe um inteiro q tal que
n^{3}+5n=6q.
  • Não há outros dados; a instrução explícita é usar o Princípio da Indução Matemática.

Passo 2

O que é e como funciona o Princípio da Indução (explicação didática).
  • A indução é uma técnica para provar uma afirmação para todos os naturais. Funciona em dois passos:
    1. Base da indução: provar que a afirmação vale para um primeiro valor (por exemplo, n=1).
    2. Passo indutivo: supor que vale para um n=k qualquer (hipótese indutiva) e então provar que disso segue que vale para n=k+1.
  • Se os dois passos forem feitos, concluímos que a afirmação vale para todo n natural.
  • Vou aplicar exatamente essa estrutura ao problema.

Passo 3

Base da indução.
  • Testar n=1.
1^{3}+5\cdot 1 = 1+5 = 6,
e 6 é claramente divisível por 6 (fica 6=6\cdot 1). Logo a afirmação é verdadeira para n=1.

Passo 4

Enunciar a hipótese de indução.
  • Suponha que para um k\in\mathbb{N} arbitrário valha:
k^{3}+5k=6m
para algum inteiro m. Esta é a hipótese indutiva.

Passo 5

Provar que a propriedade vale para n=k+1.
  • Começamos calculando a expressão para k+1:
(k+1)^{3}+5(k+1).
  • Expandindo o cubo e os produtos:
(k+1)^{3}+5(k+1)=k^{3}+3k^{2}+3k+1+5k+5.
  • Agrupando termos:
(k+1)^{3}+5(k+1)=(k^{3}+5k)+(3k^{2}+3k+6).

Passo 6

Usar a hipótese indutiva para substituir k^{3}+5k.
  • Pela hipótese indutiva temos k^{3}+5k=6m. Substituindo:
(k+1)^{3}+5(k+1)=6m+(3k^{2}+3k+6).

Passo 7

Mostrar que o restante é múltiplo de 6.
  • Fatorando 3 no segundo termo:
6m+(3k^{2}+3k+6)=6m+3(k^{2}+k+2).
  • Queremos mostrar que 3(k^{2}+k+2) é múltiplo de 6, isto é, que k^{2}+k+2 é par (divisível por 2).
  • Observe que k^{2}+k=k(k+1). O produto de dois inteiros consecutivos k e k+1 é sempre par porque um deles é par. Logo existe um inteiro s tal que
k(k+1)=2s.
  • Portanto
k^{2}+k+2=2s+2=2(s+1),
ou seja, k^{2}+k+2 é par. Logo existe um inteiro t=s+1 tal que k^{2}+k+2=2t.
  • Substituindo de volta:
3(k^{2}+k+2)=3\cdot 2t=6t.
  • Assim
(k+1)^{3}+5(k+1)=6m+6t=6(m+t),
que é múltiplo de 6.

Passo 8

Conclusão do passo indutivo e fechamento da indução.
  • Mostramos que, se k^{3}+5k é divisível por 6, então (k+1)^{3}+5(k+1) também é divisível por 6.
  • Juntando com a base ( n=1), pelo Princípio da Indução matemática a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

n^{3}+5n é divisível por 6 para todo n\in\mathbb{N}.

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