Use o Princípio da Indução para provar que
é divisível por
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se provar que, para todo
natural, o número é divisível por . - Ser divisível por
significa que existe um inteiro tal que
- Não há outros dados; a instrução explícita é usar o Princípio da Indução Matemática.
Passo 2
O que é e como funciona o Princípio da Indução (explicação didática).
- A indução é uma técnica para provar uma afirmação para todos os naturais. Funciona em dois passos:
- Base da indução: provar que a afirmação vale para um primeiro valor (por exemplo,
). - Passo indutivo: supor que vale para um
qualquer (hipótese indutiva) e então provar que disso segue que vale para .
- Base da indução: provar que a afirmação vale para um primeiro valor (por exemplo,
- Se os dois passos forem feitos, concluímos que a afirmação vale para todo
natural. - Vou aplicar exatamente essa estrutura ao problema.
Passo 3
Base da indução.
- Testar
.
e
é claramente divisível por
(fica
). Logo a afirmação é verdadeira para
.
Passo 4
Enunciar a hipótese de indução.
- Suponha que para um
arbitrário valha:
para algum inteiro
. Esta é a hipótese indutiva.
Passo 5
Provar que a propriedade vale para
.
- Começamos calculando a expressão para
:
- Expandindo o cubo e os produtos:
- Agrupando termos:
Passo 6
Usar a hipótese indutiva para substituir
.
- Pela hipótese indutiva temos
. Substituindo:
Passo 7
Mostrar que o restante é múltiplo de
.
- Fatorando
no segundo termo:
- Queremos mostrar que
é múltiplo de , isto é, que é par (divisível por ). - Observe que
. O produto de dois inteiros consecutivos e é sempre par porque um deles é par. Logo existe um inteiro tal que
- Portanto
ou seja,
é par. Logo existe um inteiro
tal que
.
- Substituindo de volta:
- Assim
que é múltiplo de
.
Passo 8
Conclusão do passo indutivo e fechamento da indução.
- Mostramos que, se
é divisível por , então também é divisível por . - Juntando com a base (
), pelo Princípio da Indução matemática a propriedade vale para todo .