Sejam
. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique a sua resposta.
a. Se
então
a. Se
Passo 1
O enunciado dá que
e propõe a afirmação: “Se
então
.”
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas:
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas:
-
e são números reais. - A hipótese é
.
Passo 2
Vamos manipular a hipótese de forma algébrica. Partindo de
subtraindo
dos dois lados obtemos
Usamos agora a fatoração conhecida da diferença de quadrados:
Logo temos
Passo 3
Aplico a propriedade do produto nulo nos reais: se
com
, então
ou
. Aplicando aqui,
Essas duas equações equivalem, respectivamente, a
Portanto, a partir de
só se pode concluir que
ou
, não necessariamente que
sozinho.
Passo 4
Vou dar um contraexemplo simples para mostrar que a afirmação original é falsa: tome
e
. Então
logo
, mas
porque
. Isso demonstra que a implicação "se
então
" é falsa. Uma forma alternativa e compacta de ver a mesma ideia é notar que
é equivalente a
, que tem as duas soluções
ou
.
Resposta
Falsa