Sejam x, y \in \mathrm{IR}. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique a sua resposta.
a. Se x^{2}=y^{2} então x=y

Passo 1

O enunciado dá que x,y\in\mathrm{IR} e propõe a afirmação: “Se \,x^{2}=y^{2}\, então \,x=y.”
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas:
  • x e y são números reais.
  • A hipótese é \,x^{2}=y^{2}.

Passo 2

Vamos manipular a hipótese de forma algébrica. Partindo de
x^{2}=y^{2},
subtraindo y^{2} dos dois lados obtemos
x^{2}-y^{2}=0.
Usamos agora a fatoração conhecida da diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Logo temos
(x-y)(x+y)=0.

Passo 3

Aplico a propriedade do produto nulo nos reais: se ab=0 com a,b\in\mathrm{IR}, então a=0 ou b=0. Aplicando aqui,
(x-y)(x+y)=0 \quad\Rightarrow\quad x-y=0 \quad\text{ou}\quad x+y=0.
Essas duas equações equivalem, respectivamente, a
x=y \quad\text{ou}\quad x=-y.
Portanto, a partir de \,x^{2}=y^{2}\, só se pode concluir que x=y ou x=-y, não necessariamente que x=y sozinho.

Passo 4

Vou dar um contraexemplo simples para mostrar que a afirmação original é falsa: tome x=1 e y=-1. Então
x^{2}=1^{2}=1\quad\text{e}\quad y^{2}=(-1)^{2}=1,
logo x^{2}=y^{2}, mas x\neq y porque 1\neq-1. Isso demonstra que a implicação "se \,x^{2}=y^{2}\, então \,x=y" é falsa. Uma forma alternativa e compacta de ver a mesma ideia é notar que \,x^{2}=y^{2}\, é equivalente a \,|x|=|y|\,, que tem as duas soluções x=y ou x=-y.

Resposta

Falsa

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