Usando a série geométrica, calcule o valor de:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}.
Informações fornecidas:
  • A série é somatória com índice k que vai de 1 até \infty.
  • Cada termo é dado por (-1)^{k+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k-1}.

Passo 2

Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão (substituindo k=1,2,3,4,\dots):
\begin{aligned} k=1 &: \;(-1)^{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=1,\\[4pt] k=2 &: \;(-1)^{3}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}=-\tfrac{1}{2},\\[4pt] k=3 &: \;(-1)^{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=+\tfrac{1}{4},\\[4pt] k=4 &: \;(-1)^{5}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=-\tfrac{1}{8}, \end{aligned}
logo a série é
1-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8}+\cdots.
Isso é uma série geométrica com primeiro termo a=1 e razão r=-\tfrac{1}{2} (cada termo é obtido multiplicando o anterior por -\tfrac{1}{2}).]

Passo 3

Lembrete e demonstração curta da fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Definição: uma série geométrica tem termos a,\,ar,\,ar^{2},\dots. A soma parcial de n termos é
S_n = a + ar + ar^{2}+\cdots+ar^{n-1}.
Multiplicando por r e subtraindo obtemos
rS_n = ar + ar^{2}+\cdots+ar^{n},
portanto
S_n - rS_n = a - ar^{n}.
Isolando S_n vem
S_n = \frac{a(1-r^{n})}{1-r},\qquad r\neq 1.
Se |r|<1 então r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Assim a soma da série geométrica infinita é
S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r},
válida somente quando |r|<1 (caso contrário a série diverge).
Aqui, a é o primeiro termo e r é a razão; a condição |r|<1 garante que os termos vão a zero.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: identificamos a=1 e r=-\tfrac{1}{2}. Verificamos a condição |r|=\tfrac{1}{2}<1, logo a fórmula vale.
Calculando a soma:
S=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-(-\tfrac{1}{2})}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{3}{2}}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Cheque rápido com somas parciais para ganhar confiança:
S_1=1,\quad S_2=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},\quad S_3=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4},\quad S_4=\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{8}=\tfrac{5}{8},
essas somas oscilam e se aproximam de \tfrac{2}{3}, consistente com o resultado.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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