Usando a série geométrica, calcule o valor de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
Informações fornecidas:
- A série é somatória com índice
que vai de até . - Cada termo é dado por
.
Passo 2
Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão (substituindo
):
logo a série é
Isso é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
(cada termo é obtido multiplicando o anterior por
).]
Passo 3
Lembrete e demonstração curta da fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Definição: uma série geométrica tem termos
. A soma parcial de
termos é
Multiplicando por
e subtraindo obtemos
portanto
Isolando
vem
Se
então
quando
. Assim a soma da série geométrica infinita é
válida somente quando
(caso contrário a série diverge).
Aqui,
é o primeiro termo e
é a razão; a condição
garante que os termos vão a zero.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: identificamos
e
. Verificamos a condição
, logo a fórmula vale.
Calculando a soma:
Passo 5
Cheque rápido com somas parciais para ganhar confiança:
essas somas oscilam e se aproximam de
, consistente com o resultado.