Usando a série geométrica, calcule o valor de:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2^{k-1}}{5^{k+1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da soma infinita
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2^{k-1}}{5^{k+1}}\right).
Informações dadas:
  • A série é somada para k variando de 1 até \infty.
  • O termo geral é \dfrac{2^{k-1}}{5^{k+1}}.
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa soma.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de forma mais conveniente, fatorando constantes e exponenciais iguais. Começando por
\frac{2^{k-1}}{5^{k+1}} =\frac{2^{k}}{2}\cdot\frac{1}{5^{k}\cdot5} =\frac{1}{10}\cdot\frac{2^{k}}{5^{k}} =\frac{1}{10}\left(\frac{2}{5}\right)^{k}.
Portanto a série vira
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2^{k-1}}{5^{k+1}}\right) =\frac{1}{10}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{k}.

Passo 3

Agora uma breve aula rápida sobre séries geométricas (não se assuste — é simples e útil):
  • Uma série geométrica de razão r tem a forma \sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}, onde a é o primeiro termo (quando k=0) e r é a razão comum.
  • Essa série converge (tem soma finita) exatamente quando |r|<1.
  • A soma, nesse caso, é
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}=\frac{a}{1-r}\quad\text{se }|r|<1.
  • Se a soma começa em k=1, ou seja \sum_{k=1}^{\infty} r^{k}, podemos usar
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k}=\frac{r}{1-r}\quad\text{se }|r|<1,
pois é só subtrair o termo k=0 (que é 1) da soma que começa em 0.

Passo 4

Identificamos na nossa série a razão
r=\frac{2}{5}.
Verificamos a condição de convergência: |r|=\left|\dfrac{2}{5}\right|=\dfrac{2}{5}<1, então a série geométrica converge e podemos usar a fórmula. A nossa série é \dfrac{1}{10}\sum_{k=1}^{\infty} r^{k} com r=\dfrac{2}{5}.

Passo 5

Aplicando a fórmula para a soma dos termos a partir de k=1:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{k}=\frac{\tfrac{2}{5}}{1-\tfrac{2}{5}}=\frac{\tfrac{2}{5}}{\tfrac{3}{5}}=\frac{2}{3}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{10} que colocamos fora:
\frac{1}{10}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}.
Como checagem rápida: os primeiros termos da série original são \dfrac{1}{25}, \dfrac{2}{125}, \dfrac{4}{625}, … somando esses já dá aproximadamente 0,0649\ldots, que tende para 1/15\approx0,06666\ldots, então faz sentido.

Resposta

\dfrac{1}{15}

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