Sejam X, Y subset M ( M espaço Métrico). Prove que barX times barY=X times Y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em Mtimes M com a métrica produto, vale
Xtimes Y ;=;,Xtimes Y,
Aqui usamos que, em espaço métrico, a aderência (fecho) pode ser caracterizada por limites de sequências, e que um conjunto é fechado se contém todos os seus limites de sequência.

Passo 2

Mostramos primeiro que Xtimes Ysubset Xtimes Y e que este último é fechado.
  1. Se (x,y)in Xtimes Y então xin Xsubset X e yin Ysubset Y, logo
Xtimes Y;subset;Xtimes Y
  1. Para ver que Xtimes Y é fechado, seja l((xn,yn)r)subsetXtimes Y e suponha (xn,yn)to(x,y). No produto métrico temos xnto x e ynto y. Como X e Y são fechados em M, segue xinX e yinY. Logo (x,y)inXtimes Y. Isso prova que Xtimes Y é fechado.

Passo 3

A definição de fecho Xtimes Y é o menor fechado que contém Xtimes Y. Como mostramos que Xtimes Y é fechado e contém Xtimes Y, temos
,Xtimes Y,;subset;Xtimes Y

Passo 4

Para a outra inclusão, use sequência aproximante. Seja (x,y)inXtimes Y. Então existem sequências (xn)subset X e (yn)subset Y tais que xnto x e ynto y. No produto métrico isso implica
(xn,yn);longrightarrow;(x,y),
e como cada (xn,yn)in Xtimes Y, segue que (x,y) é ponto de aderência de Xtimes Y. Logo
Xtimes Y;subset;,Xtimes Y,

Resposta

Xtimes Y ;=;,Xtimes Y,

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