Escolha um item e resolva.
Sejam X, Y subset M ( M espaço Métrico). Prove que barX cup barY=X cup Y. Em seguida, dê um exemplo verificando que a interseção não é valida.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço métrico M, o fecho de uma união é a união dos fechos, isto é,
XcupY ;=;,Xcup Y,,
onde A denota o fecho de Asubset M. Vamos usar a definição de fecho como o menor conjunto fechado que contém A e o fato de que em espaços métricos a união finita de fechados é fechada.

Passo 2

Mostramos primeiro
Xcup Y;supset;XcupY
De fato, por definição Xcup Y é fechado e contém Xcup Y. Como Xsubset Xcup Y, segue que Xcup Y contém X e, por ser fechado, também contém X. Analogamente contém Y. Portanto
Xcup Ysupset XeXcup Ysupset Y Longrightarrow Xcup Ysupset XcupY

Passo 3

Agora mostramos
Xcup Y;subset;XcupY
Como X e Y são fechados e em espaço métrico a união finita de fechados é fechada, tem-se que XcupY é fechado. Além disso
Xsubset X e Ysubset Y Longrightarrow Xcup Ysubset XcupY
Logo XcupY é um fechado que contém Xcup Y, e pelo caráter minimal do fecho de Xcup Y segue
Xcup Y;subset;XcupY
Das duas inclusões concluímos
XcupY =Xcup Y

Passo 4

Para ver que o análogo não vale para interseção, considere em M=R
X=(0,1), Y=(1,2)
Então
X=[0,1], Y=[1,2], XcapY=1,
mas
Xcap Y=varnothing Longrightarrow Xcap Y=varnothing
Logo
XcapYneq Xcap Y

Resposta

XcupY=Xcup Y
Contra-exemplo para interseção no passo 4.

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