Escolha um item e resolva.
Sejam ( espaço Métrico). Prove que . Em seguida, dê um exemplo verificando que a interseção não é valida.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço métrico M, o fecho de uma união é a união dos fechos, isto é,
XcupY ;=;,Xcup Y,,
onde A denota o fecho de Asubset M. Vamos usar a definição de fecho como o menor conjunto fechado que contém A e o fato de que em espaços métricos a união finita de fechados é fechada.
Passo 2
Mostramos primeiro
Xcup Y;supset;XcupY
De fato, por definição Xcup Y é fechado e contém Xcup Y. Como Xsubset Xcup Y, segue que Xcup Y contém X e, por ser fechado, também contém X. Analogamente contém Y. Portanto
Xcup Ysupset XeXcup Ysupset Y Longrightarrow Xcup Ysupset XcupY
Passo 3
Agora mostramos
Xcup Y;subset;XcupY
Como X e Y são fechados e em espaço métrico a união finita de fechados é fechada, tem-se que XcupY é fechado. Além disso
Xsubset X e Ysubset Y Longrightarrow Xcup Ysubset XcupY
Logo XcupY é um fechado que contém Xcup Y, e pelo caráter minimal do fecho de Xcup Y segue
Xcup Y;subset;XcupY
Das duas inclusões concluímos
XcupY =Xcup Y
Passo 4
Para ver que o análogo não vale para interseção, considere em M=R