Considere o subconjuntos dos reais com métrica usual X=2-12 n ; n in N.
X é um conjunto fechado? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o espaço métrico (R,d) com a métrica usual e o subconjunto
X = l,2 - tfrac12n;m|;ninNr
Pede-se verificar se X é fechado em R. Para isso, vamos usar a definição: um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (ou limites de sequências em X).

Passo 2

Observe que os pontos de X são
2 - tfrac12,;2 - tfrac14,;2 - tfrac16,;dots
ou seja, uma sequência l(xnr)subset X dada por
xn = 2 - tfrac12n
Essa sequência é estritamente crescente e claramente limitada superiormente por 2.

Passo 3

Pelo Teorema de limite de sequência em R, como xn é crescente e limitada acima, ela converge para o supremo do conjunto dos seus termos. Aqui
limntoinftyxn = limntoinftyl(2 - tfrac12nr) = 2
Portanto, 2 é ponto de acumulação de X.

Passo 4

Verificamos se esse ponto de acumulação está em X. Em X todo elemento é da forma 2 - tfrac12n para algum ninN, e em nenhum caso obtemos exatamente 2. Logo
2notin X

Passo 5

Concluímos que X não contém o seu ponto de acumulação 2. Assim, pela definição de conjunto fechado em espaço métrico, X não é fechado em R.

Resposta

X não é fechado, pois o seu ponto de acumulação 2 não pertence a X.

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