Sejam
e
variáveis aleatórias independentes com:
Calcule:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
e afirma que
e
são variáveis aleatórias independentes.
As perguntas pedem:
a) Calcular .
b) Calcular .
c) Calcular .
a) Calcular
b) Calcular
c) Calcular
Passo 2
Vou explicar as propriedades que vamos usar — sem pular etapas — e por que elas valem, assim você consegue aplicar no exame com confiança.
- Linearidade da esperança:
para quaisquer constantes
e
. Isso vem do fato de que esperança é uma média ponderada; multiplicar a variável por
multiplica a média por
, e somar
desloca a média em
.
Exemplo simples: se
, então
.
- Relação entre variância e esperança de quadrado:
ou rearranjando,
Isto é definicional: variância mede a média dos quadrados menos o quadrado da média.
- Variância de variável escalada:
O termo
não contribui porque é constante; o fator
sai ao quadrado por causa do quadrado na definição de variância.
- Variância de soma de variáveis (caso geral):
onde
.
Se
e
são independentes, então
, e portanto
No caso de sinais, lembrar que
.
Essas fórmulas são as ferramentas que vamos usar. Se quiser, posso justificar alguma delas com mais exemplos, mas agora aplico passo a passo.
Passo 3
Resolvendo (a)
.
Usando linearidade da esperança:
Substituindo os valores dados:
Fazendo as contas:
Portanto o resultado é
.
Passo 4
Resolvendo (b)
.
Primeiro defino
. Então, pela fórmula do Passo 2,
Calculo
. Substituindo:
Agora calculo
. Como
e
são independentes,
. Além disso
. Logo,
Agora volto para
:
Comentário de verificação (opcional, só para consolidar): podemos expandir
e, pela independência,
. Então
e portanto
o que confirma o resultado anterior.
Passo 5
Resolvendo (c)
.
Usamos a fórmula geral (Passo 2) para variância de combinação linear:
Aqui
e
. Como
e
são independentes,
. Assim
Substituindo os valores:
Calcule a parte fracionária:
Portanto
Se preferir decimal,
.
Resposta
a)
b)
c)