Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com:
E(X)=5, V(X)=2, E(Y)=8, V(Y)=3
Calcule:
a) E(X-Y+3)
b) E\left((X-Y)^{2}\right)
c) V\left(X-\frac{1}{3} Y\right)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
E(X)=5,\quad V(X)=2,\quad E(Y)=8,\quad V(Y)=3,
e afirma que X e Y são variáveis aleatórias independentes.
As perguntas pedem:
a) Calcular E(X-Y+3).
b) Calcular E\big((X-Y)^{2}\big).
c) Calcular V\!\left(X-\frac{1}{3}Y\right).

Passo 2

Vou explicar as propriedades que vamos usar — sem pular etapas — e por que elas valem, assim você consegue aplicar no exame com confiança.
  1. Linearidade da esperança:
E(aX+b)=a\,E(X)+b,
para quaisquer constantes a e b. Isso vem do fato de que esperança é uma média ponderada; multiplicar a variável por a multiplica a média por a, e somar b desloca a média em b.
Exemplo simples: se E(X)=2, então E(3X+5)=3\cdot 2+5=11.
  1. Relação entre variância e esperança de quadrado:
V(Z)=E(Z^{2})-\big(E(Z)\big)^{2},
ou rearranjando,
E(Z^{2})=V(Z)+\big(E(Z)\big)^{2}.
Isto é definicional: variância mede a média dos quadrados menos o quadrado da média.
  1. Variância de variável escalada:
V(aX+b)=a^{2}V(X).
O termo b não contribui porque é constante; o fator a sai ao quadrado por causa do quadrado na definição de variância.
  1. Variância de soma de variáveis (caso geral):
V(U+W)=V(U)+V(W)+2\operatorname{Cov}(U,W),
onde \operatorname{Cov}(U,W)=E(UW)-E(U)E(W).
Se U e W são independentes, então \operatorname{Cov}(U,W)=0, e portanto
V(U+W)=V(U)+V(W).
No caso de sinais, lembrar que V(-Y)=(-1)^{2}V(Y)=V(Y).
Essas fórmulas são as ferramentas que vamos usar. Se quiser, posso justificar alguma delas com mais exemplos, mas agora aplico passo a passo.

Passo 3

Resolvendo (a) E(X-Y+3).
Usando linearidade da esperança:
E(X-Y+3)=E(X)-E(Y)+3.
Substituindo os valores dados:
E(X-Y+3)=5-8+3.
Fazendo as contas:
5-8+3=0.
Portanto o resultado é 0.

Passo 4

Resolvendo (b) E\big((X-Y)^{2}\big).
Primeiro defino Z=X-Y. Então, pela fórmula do Passo 2,
E(Z^{2})=V(Z)+\big(E(Z)\big)^{2}.
Calculo E(Z)=E(X-Y)=E(X)-E(Y). Substituindo:
E(X-Y)=5-8=-3.
Agora calculo V(Z)=V(X-Y). Como X e Y são independentes, \operatorname{Cov}(X,Y)=0. Além disso V(-Y)=V(Y). Logo,
V(X-Y)=V(X)+V(-Y)=V(X)+V(Y)=2+3=5.
Agora volto para E(Z^{2}):
E\big((X-Y)^{2}\big)=V(X-Y)+\big(E(X-Y)\big)^{2}=5+(-3)^{2}=5+9=14.
Comentário de verificação (opcional, só para consolidar): podemos expandir (X-Y)^{2}=X^{2}-2XY+Y^{2} e, pela independência, E(XY)=E(X)E(Y)=5\cdot 8=40. Então
E(X^{2})=V(X)+E(X)^{2}=2+5^{2}=27,
E(Y^{2})=V(Y)+E(Y)^{2}=3+8^{2}=67,
e portanto
E\big((X-Y)^{2}\big)=27-2\cdot 40+67=27-80+67=14,
o que confirma o resultado anterior.

Passo 5

Resolvendo (c) V\!\left(X-\dfrac{1}{3}Y\right).
Usamos a fórmula geral (Passo 2) para variância de combinação linear:
V\big(aX+bY\big)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)+2ab\,\operatorname{Cov}(X,Y).
Aqui a=1 e b=-\dfrac{1}{3}. Como X e Y são independentes, \operatorname{Cov}(X,Y)=0. Assim
V\!\left(X-\frac{1}{3}Y\right)=1^{2}V(X)+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}V(Y).
Substituindo os valores:
V\!\left(X-\frac{1}{3}Y\right)=2+\left(\frac{1}{9}\right)\cdot 3.
Calcule a parte fracionária:
\left(\frac{1}{9}\right)\cdot 3=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
Portanto
V\!\left(X-\frac{1}{3}Y\right)=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Se preferir decimal, \dfrac{7}{3}\approx 2,333\ldots.

Resposta

a) 0
b) 14
c) \dfrac{7}{3}

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