Dada a distribuição conjunta, parcialmente indicada:
Pede-se
a)
e
são independentes?
b)
c)
d)
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a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição conjunta de
e
com níveis
e
. A tabela parcial fornecida (peguei os dados da tabela do enunciado) é:
O que o exercício pede:
a) Verificar se e
são independentes.
b) Calcular (interpreto isto como
, ou seja, a esperança do produto).
c) Calcular .
d) Calcular .
a) Verificar se
b) Calcular
c) Calcular
d) Calcular
Nenhuma outra informação adicional foi dada; a tabela tem entradas em branco que precisamos completar a partir das marginais e da soma total de probabilidades.
Passo 2
Vamos completar as entradas em branco usando as marginais e a condição de que as probabilidades somam
. Primeiro passo: transformar frações com denominador comum
(pois várias entradas já estão em /30):
-
. -
. -
.
Agora, usar as marginais fornecidas:
- Linha
: soma das probabilidades nessa linha deve ser . As entradas conhecidas são e . Portanto a terceira entrada é
- Coluna
: marginal . Já temos e . Logo
- Coluna
: marginal . Já temos e . Logo
- Agora verificamos que faltou apenas
. Podemos usar que as probabilidades totais somam , ou somar o que falta na linha cujo total é dado como . Já temos e , então
(Confirmei que a soma das probabilidades agora é
.)
Passo 3
Escrevo a tabela completa com todas as entradas em forma
:
Dessas marginais obtemos:
Passo 4
a) Teste de independência (a definição e como aplicar):
e
são independentes se, para todo
,
Basta apresentar um contraexemplo (uma célula onde a igualdade não vale) para concluir que NÃO são independentes.
Escolho
. Da tabela:
Os marginais dão
Comparando
com
: note que
. Portanto a igualdade não vale, logo
e
não são independentes.
Passo 5
b) Calcular
. Definição e método:
. Vou somar todos os nove termos usando as probabilidades da tabela (escrevo as contas em
):
Contribuições termo a termo (coloco em forma numerador sobre
):
Somando os numeradores sobre
:
Logo
Passo 6
Para responder (c) preciso de
e
. Vou calcular cada um com definição de esperança marginal.
-
. Temos , , . Assim
-
. Com as marginais , , ,
Passo 7
c) Calcular
usando linearidade da esperança:
Substituindo
e
:
Coloco em denominador comum
:
Logo
Passo 8
d) Calcular
. Primeiro lembro a propriedade útil: para constantes
,
Aqui
,
, então
.
Agora preciso de
. Já tenho
. Calculo
:
Então
Converto
para denominador
:
. Assim
Finalmente
Resposta
(a) Não,
e
não são independentes.
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)