Dada a distribuição conjunta, parcialmente indicada:
\mathbf{X}
\mathbf{Y} \mathbf{- 3} \mathbf{2} \mathbf{4} \mathrm{P}(\mathrm{y})
\mathbf{- 2} 1 / 15 1 / 15 7 / 30
\mathbf{0} 8 / 30 2 / 15
\mathbf{1} 1 / 30 7 / 30
\mathrm{P}(\mathrm{x}) 6 / 15 7 / 30
Pede-se
a) X e Y são independentes?
b) \mathrm{E}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})
c) E\left(\frac{X^{2}}{3}-\frac{2 Y}{5}-10\right)
d) V(8-15 X)

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição conjunta de \,X e \,Y com níveis \,X\in\{-3,2,4\} e \,Y\in\{-2,0,1\}. A tabela parcial fornecida (peguei os dados da tabela do enunciado) é:
\begin{array}{c|ccc|c} & X=-3 & X=2 & X=4 & P(Y)\\hline Y=-2 & \tfrac{1}{15} & \tfrac{1}{15} & \text{(em branco)} & \tfrac{7}{30}\\\ Y=0 & \tfrac{8}{30} & \text{(em branco)} & \tfrac{2}{15} & \text{(em branco)}\\\ Y=1 & \text{(em branco)} & \tfrac{1}{30} & \text{(em branco)} & \tfrac{7}{30}\\hline P(X) & \tfrac{6}{15} & \tfrac{7}{30} & \text{(em branco)} & \end{array}
O que o exercício pede:
a) Verificar se X e Y são independentes.
b) Calcular E(X,Y) (interpreto isto como E(XY), ou seja, a esperança do produto).
c) Calcular E\!\left(\dfrac{X^{2}}{3}-\dfrac{2Y}{5}-10\right).
d) Calcular \operatorname{Var}(8-15X).
Nenhuma outra informação adicional foi dada; a tabela tem entradas em branco que precisamos completar a partir das marginais e da soma total de probabilidades.

Passo 2

Vamos completar as entradas em branco usando as marginais e a condição de que as probabilidades somam 1. Primeiro passo: transformar frações com denominador comum 30 (pois várias entradas já estão em /30):
  • \dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{30}.
  • \dfrac{2}{15}=\dfrac{4}{30}.
  • \dfrac{6}{15}=\dfrac{12}{30}.
Agora, usar as marginais fornecidas:
  1. Linha Y=-2: soma das probabilidades nessa linha deve ser P(Y=-2)=\dfrac{7}{30}. As entradas conhecidas são P(-3,-2)=\dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{30} e P(2,-2)=\dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{30}. Portanto a terceira entrada P(4,-2) é
P(4,-2)=\dfrac{7}{30}-\dfrac{2}{30}-\dfrac{2}{30}=\dfrac{3}{30}=\dfrac{1}{10}.
  1. Coluna X=-3: marginal P(X=-3)=\dfrac{6}{15}=\dfrac{12}{30}. Já temos P(-3,-2)=\dfrac{2}{30} e P(-3,0)=\dfrac{8}{30}. Logo
P(-3,1)=\dfrac{12}{30}-\dfrac{2}{30}-\dfrac{8}{30}=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}.
  1. Coluna X=2: marginal P(X=2)=\dfrac{7}{30}. Já temos P(2,-2)=\dfrac{2}{30} e P(2,1)=\dfrac{1}{30}. Logo
P(2,0)=\dfrac{7}{30}-\dfrac{2}{30}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{4}{30}=\dfrac{2}{15}.
  1. Agora verificamos que faltou apenas P(4,1). Podemos usar que as probabilidades totais somam 1, ou somar o que falta na linha Y=1 cujo total é dado como \tfrac{7}{30}. Já temos P(-3,1)=\tfrac{2}{30} e P(2,1)=\tfrac{1}{30}, então
P(4,1)=\tfrac{7}{30}-\tfrac{2}{30}-\tfrac{1}{30}=\tfrac{4}{30}=\tfrac{2}{15}.
(Confirmei que a soma das probabilidades agora é 1.)

Passo 3

Escrevo a tabela completa com todas as entradas em forma \tfrac{\cdot}{30}:
\begin{array}{c|ccc|c} & X=-3 & X=2 & X=4 & P(Y)\\hline Y=-2 & \tfrac{2}{30} & \tfrac{2}{30} & \tfrac{3}{30} & \tfrac{7}{30}\\\ Y=0 & \tfrac{8}{30} & \tfrac{4}{30} & \tfrac{4}{30} & \tfrac{16}{30}\\\ Y=1 & \tfrac{2}{30} & \tfrac{1}{30} & \tfrac{4}{30} & \tfrac{7}{30}\\hline P(X) & \tfrac{12}{30} & \tfrac{7}{30} & \tfrac{11}{30} & 1 \end{array}
Dessas marginais obtemos:
P(X=-3)=\tfrac{12}{30}=\tfrac{6}{15},\quad P(X=2)=\tfrac{7}{30},\quad P(X=4)=\tfrac{11}{30},
P(Y=-2)=\tfrac{7}{30},\quad P(Y=0)=\tfrac{16}{30}=\tfrac{8}{15},\quad P(Y=1)=\tfrac{7}{30}.

Passo 4

a) Teste de independência (a definição e como aplicar): X e Y são independentes se, para todo x,y,
P(X=x,Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y).
Basta apresentar um contraexemplo (uma célula onde a igualdade não vale) para concluir que NÃO são independentes.
Escolho x=-3,y=-2. Da tabela:
P(X=-3,Y=-2)=\tfrac{2}{30}.
Os marginais dão
P(X=-3)\,P(Y=-2)=\tfrac{12}{30}\cdot\tfrac{7}{30}=\tfrac{84}{900}=\tfrac{7}{75}.
Comparando \tfrac{2}{30}=\tfrac{1}{15} com \tfrac{7}{75}: note que \tfrac{1}{15}=\tfrac{5}{75}\neq\tfrac{7}{75}. Portanto a igualdade não vale, logo X e Y não são independentes.

Passo 5

b) Calcular E(XY). Definição e método: E(XY)=\sum_{x}\sum_{y} x y\,P(X=x,Y=y). Vou somar todos os nove termos usando as probabilidades da tabela (escrevo as contas em /30):
Contribuições termo a termo (coloco em forma numerador sobre 30):
\begin{aligned} &(-3)(-2)\cdot\tfrac{2}{30}=6\cdot\tfrac{2}{30}=\tfrac{12}{30},\\\ &(-3)(0)\cdot\tfrac{8}{30}=0,\\\ &(-3)(1)\cdot\tfrac{2}{30}=-3\cdot\tfrac{2}{30}=-\tfrac{6}{30},\\\ &(2)(-2)\cdot\tfrac{2}{30}=-4\cdot\tfrac{2}{30}=-\tfrac{8}{30},\\\ &(2)(0)\cdot\tfrac{4}{30}=0,\\\ &(2)(1)\cdot\tfrac{1}{30}=2\cdot\tfrac{1}{30}=\tfrac{2}{30},\\\ &(4)(-2)\cdot\tfrac{3}{30}=-8\cdot\tfrac{3}{30}=-\tfrac{24}{30},\\\ &(4)(0)\cdot\tfrac{4}{30}=0,\\\ &(4)(1)\cdot\tfrac{4}{30}=4\cdot\tfrac{4}{30}=\tfrac{16}{30}. \end{aligned}
Somando os numeradores sobre 30:
12 + 0 -6 -8 +0 +2 -24 +0 +16 = -8.
Logo
E(XY)= -\dfrac{8}{30} = -\dfrac{4}{15}.

Passo 6

Para responder (c) preciso de E(X^2) e E(Y). Vou calcular cada um com definição de esperança marginal.
  1. E(X^2)=\sum_x x^2 P(X=x). Temos P(X=-3)=\tfrac{12}{30}, P(X=2)=\tfrac{7}{30}, P(X=4)=\tfrac{11}{30}. Assim
E(X^2)=9\cdot\tfrac{12}{30}+4\cdot\tfrac{7}{30}+16\cdot\tfrac{11}{30} =\dfrac{108+28+176}{30}=\dfrac{312}{30}=\dfrac{52}{5}.
  1. E(Y)=\sum_y y\,P(Y=y). Com as marginais P(Y=-2)=\tfrac{7}{30}, P(Y=0)=\tfrac{16}{30}, P(Y=1)=\tfrac{7}{30},
E(Y)=(-2)\cdot\tfrac{7}{30}+0\cdot\tfrac{16}{30}+1\cdot\tfrac{7}{30}=\dfrac{-14+7}{30}=-\dfrac{7}{30}.

Passo 7

c) Calcular E\!\left(\dfrac{X^{2}}{3}-\dfrac{2Y}{5}-10\right) usando linearidade da esperança:
E\!\left(\dfrac{X^{2}}{3}-\dfrac{2Y}{5}-10\right)=\dfrac{1}{3}E(X^2)-\dfrac{2}{5}E(Y)-10.
Substituindo E(X^2)=\dfrac{52}{5} e E(Y)=-\dfrac{7}{30}:
\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{52}{5}-\dfrac{2}{5}\cdot\left(-\dfrac{7}{30}\right)-10 =\dfrac{52}{15}+\dfrac{14}{150}-10.
Coloco em denominador comum 75:
\dfrac{52}{15}=\dfrac{260}{75},\quad \dfrac{14}{150}=\dfrac{7}{75},\quad 10=\dfrac{750}{75}.
Logo
\dfrac{260}{75}+\dfrac{7}{75}-\dfrac{750}{75}=\dfrac{267-750}{75}=\dfrac{-483}{75}=-\dfrac{161}{25}.

Passo 8

d) Calcular \operatorname{Var}(8-15X). Primeiro lembro a propriedade útil: para constantes a,b,
\operatorname{Var}(a+bX)=b^{2}\operatorname{Var}(X).
Aqui a=8, b=-15, então \operatorname{Var}(8-15X)=(-15)^{2}\operatorname{Var}(X)=225\operatorname{Var}(X).
Agora preciso de \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2. Já tenho E(X^2)=\dfrac{52}{5}. Calculo E(X):
E(X)=(-3)\cdot\tfrac{12}{30}+2\cdot\tfrac{7}{30}+4\cdot\tfrac{11}{30} =\dfrac{-36+14+44}{30}=\dfrac{22}{30}=\dfrac{11}{15}.
Então
[E(X)]^{2}=\left(\dfrac{11}{15}\right)^{2}=\dfrac{121}{225}.
Converto E(X^2) para denominador 225: E(X^2)=\dfrac{52}{5}=\dfrac{2340}{225}. Assim
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{2340}{225}-\dfrac{121}{225}=\dfrac{2219}{225}.
Finalmente
\operatorname{Var}(8-15X)=225\cdot\dfrac{2219}{225}=\boxed{2219}.

Resposta

(a) Não, X e Y não são independentes.
(b) E(XY)=-\dfrac{4}{15}.
(c) E\!\left(\dfrac{X^{2}}{3}-\dfrac{2Y}{5}-10\right)=-\dfrac{161}{25}.
(d) \operatorname{Var}(8-15X)=2219.

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