Sejam X e Y variáveis aleatórias com segundos momentos finitos, e seja Z uma outra variável aleatória. Demonstrar a seguinte fórmula
\operatorname{cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=\mathrm{E}[\operatorname{cov}(X, Y) / Z]+\operatorname{cov}[\mathrm{E}(\mathrm{X} / \mathrm{Z}), \mathrm{E}(\mathrm{Y} / \mathrm{Z})] .

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\operatorname{cov}(X,Y)=\mathbb{E}[\operatorname{cov}(X,Y\mid Z)]+\operatorname{cov}(\mathbb{E}[X\mid Z],\mathbb{E}[Y\mid Z]).
Informações dadas:
  • X e Y são variáveis aleatórias com segundos momentos finitos (isto garante que as esperanças e covariâncias que vamos usar existem e são finitas).
  • Z é outra variável aleatória (pode ser discreta ou contínua; não precisamos da forma específica).
  • A notação \mathbb{E}[\cdot\mid Z] representa a esperança condicional dado Z.
  • A notação \operatorname{cov}(\cdot,\cdot) e \operatorname{cov}(\cdot,\cdot\mid Z) representam, respectivamente, a covariância marginal e a covariância condicional.

Passo 2

Vou recordar definições básicas e propriedades que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Definição de covariância entre X e Y:
\operatorname{cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\;\mathbb{E}[Y].
Aqui \mathbb{E}[XY] é a esperança do produto XY, e \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[Y] são as esperanças marginais de X e Y.
  • Definição de covariância condicional dado Z:
\operatorname{cov}(X,Y\mid Z)=\mathbb{E}[XY\mid Z]-\mathbb{E}[X\mid Z]\;\mathbb{E}[Y\mid Z].
Isto é uma variável aleatória (função de Z): para cada valor de Z temos a covariância condicional correspondente.
  • Propriedade da esperança iterada (ou torre): para qualquer variável integrável W,
\mathbb{E}[W]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[W\mid Z]].
Isto vale também para W=XY, W=X, W=Y desde que as esperanças existam.

Passo 3

Aplicamos a definição de covariância e a propriedade da esperança iterada para reescrever \operatorname{cov}(X,Y).
Começamos por
\operatorname{cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y].
Usando a torre para \mathbb{E}[XY], \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[Y] obtemos
\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[XY\mid Z]],\qquad \mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]],\qquad \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid Z]].
Substituindo estas igualdades em \operatorname{cov}(X,Y) vem
\operatorname{cov}(X,Y)=\mathbb{E}[\mathbb{E}[XY\mid Z]]-\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]]\;\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid Z]].

Passo 4

Para separar a contribuição da covariância condicional da contribuição das esperanças condicionais, adicionamos e subtraímos o termo \mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]\;\mathbb{E}[Y\mid Z]]. Assim:
\begin{aligned} \operatorname{cov}(X,Y) &= \mathbb{E}[\mathbb{E}[XY\mid Z]]-\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]]\;\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid Z]] \\\ &= \mathbb{E}[\mathbb{E}[XY\mid Z]]-\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]\;\mathbb{E}[Y\mid Z]] \\\ &\qquad +\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]\;\mathbb{E}[Y\mid Z]]-\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]]\;\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid Z]]. \end{aligned}

Passo 5

Agora reconhecemos cada pedaço:
  • O primeiro parêntese é
\mathbb{E}[\mathbb{E}[XY\mid Z]-\mathbb{E}[X\mid Z]\;\mathbb{E}[Y\mid Z]].
Pela definição dada no Passo 2, o que está dentro da esperança é exatamente \operatorname{cov}(X,Y\mid Z). Logo esse termo é
\mathbb{E}[\operatorname{cov}(X,Y\mid Z)].
Expliquei: \operatorname{cov}(X,Y\mid Z) é uma variável aleatória (depende de Z), e estamos tomando a esperança marginal dessa variável.

Passo 6

O segundo parêntese é
\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]\;\mathbb{E}[Y\mid Z]]-\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]]\;\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid Z]].
Mas isto é exatamente a definição de covariância aplicada às variáveis aleatórias A=\mathbb{E}[X\mid Z] e B=\mathbb{E}[Y\mid Z]. Ou seja,
\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]\;\mathbb{E}[Y\mid Z]]-\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid Z]]\;\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid Z]] =\operatorname{cov}(\mathbb{E}[X\mid Z],\mathbb{E}[Y\mid Z]).
Note que A e B têm esperança bem definida porque as esperanças condicionais têm segundos momentos finitos sob a hipótese inicial.

Passo 7

Juntando os resultados dos passos anteriores obtemos a decomposição desejada:
\operatorname{cov}(X,Y)=\mathbb{E}[\operatorname{cov}(X,Y\mid Z)]+\operatorname{cov}(\mathbb{E}[X\mid Z],\mathbb{E}[Y\mid Z]).
Isto conclui a demonstração: escrevemos a covariância marginal como a soma da esperança da covariância condicional e da covariância das esperanças condicionais.

Resposta

\operatorname{cov}(X,Y)=\mathbb{E}[\operatorname{cov}(X,Y\mid Z)]+\operatorname{cov}(\mathbb{E}[X\mid Z],\mathbb{E}[Y\mid Z]).

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