Sejam
e
variáveis aleatórias com segundos momentos finitos, e seja
uma outra variável aleatória. Demonstrar a seguinte fórmula
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações dadas:
-
e são variáveis aleatórias com segundos momentos finitos (isto garante que as esperanças e covariâncias que vamos usar existem e são finitas). -
é outra variável aleatória (pode ser discreta ou contínua; não precisamos da forma específica). - A notação
representa a esperança condicional dado . - A notação
e representam, respectivamente, a covariância marginal e a covariância condicional.
Passo 2
Vou recordar definições básicas e propriedades que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Definição de covariância entre
e :
Aqui
é a esperança do produto
, e
e
são as esperanças marginais de
e
.
- Definição de covariância condicional dado
:
Isto é uma variável aleatória (função de
): para cada valor de
temos a covariância condicional correspondente.
- Propriedade da esperança iterada (ou torre): para qualquer variável integrável
,
Isto vale também para
,
,
desde que as esperanças existam.
Passo 3
Aplicamos a definição de covariância e a propriedade da esperança iterada para reescrever
.
Começamos por
Começamos por
Usando a torre para
,
e
obtemos
Substituindo estas igualdades em
vem
Passo 4
Para separar a contribuição da covariância condicional da contribuição das esperanças condicionais, adicionamos e subtraímos o termo
. Assim:
Passo 5
Agora reconhecemos cada pedaço:
- O primeiro parêntese é
Pela definição dada no Passo 2, o que está dentro da esperança é exatamente
. Logo esse termo é
Expliquei:
é uma variável aleatória (depende de
), e estamos tomando a esperança marginal dessa variável.
Passo 6
O segundo parêntese é
Mas isto é exatamente a definição de covariância aplicada às variáveis aleatórias
e
. Ou seja,
Note que
e
têm esperança bem definida porque as esperanças condicionais têm segundos momentos finitos sob a hipótese inicial.
Passo 7
Juntando os resultados dos passos anteriores obtemos a decomposição desejada:
Isto conclui a demonstração: escrevemos a covariância marginal como a soma da esperança da covariância condicional e da covariância das esperanças condicionais.