Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que Y tem esperança finita.
Demonstre que \operatorname{var}(Y)=E[\operatorname{var}(Y / X)]+\operatorname{var}[E(Y / X)], i.e., a variância de Y é a soma da esperança da variância condicional e a variância da esperança condicional.

Passo 1

O enunciado dá que X e Y são variáveis aleatórias e que Y tem esperança finita. Pede-se para demonstrar a identidade
\operatorname{var}(Y)=E[\operatorname{var}(Y\mid X)]+\operatorname{var}\bigl(E[Y\mid X]\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • Y tem esperança finita, logo \operatorname{var}(Y) está bem definida (assumimos também que as esperanças condicionais necessárias existem).
  • Devemos relacionar a variância de Y com a variância condicional \operatorname{var}(Y\mid X) e a esperança condicional E[Y\mid X].

Passo 2

Vou lembrar definições e propriedades que usaremos (explicadas devagarinho):
  • Definição da variância: \displaystyle \operatorname{var}(Y)=E\bigl[(Y-E[Y])^{2}\bigr]. Aqui E[Y] é a esperança (média) de Y.
  • Definição da esperança condicional: E[Y\mid X] é uma função (mensurável em X) tal que, para qualquer conjunto determinado por X, a média condicional tem as propriedades usuais; intuitivamente é a "média de Y sabendo X".
  • Definição da variância condicional: \displaystyle \operatorname{var}(Y\mid X)=E\bigl[(Y-E[Y\mid X])^{2}\mid X\bigr]. É uma variável aleatória (função de X).
  • Propriedade da torre (lei da esperança total): \displaystyle E\bigl[E[Y\mid X]\bigr]=E[Y].
  • Linearidade da esperança: E[U+V]=E[U]+E[V] e E[cU]=cE[U] para constante c.
  • Propriedade útil de condicionamento: se Z é função de X (ou seja, mensurável em relação a X), então E[Z\cdot W\mid X]=Z\cdot E[W\mid X].Em palavras: podemos “fatorar” para fora do condicionamento qualquer função que dependa só de X.

Passo 3

Começamos a manipular a expressão da variância de Y. Escrevo a diferença Y-E[Y] somando e subtraindo E[Y\mid X]:
Y-E[Y]=\bigl(Y-E[Y\mid X]\bigr)+\bigl(E[Y\mid X]-E[Y]\bigr).
Agora quadramos os dois lados e usamos (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}:
\bigl(Y-E[Y]\bigr)^{2}=\bigl(Y-E[Y\mid X]\bigr)^{2} +2\bigl(Y-E[Y\mid X]\bigr)\bigl(E[Y\mid X]-E[Y]\bigr) +\bigl(E[Y\mid X]-E[Y]\bigr)^{2}.

Passo 4

Tomamos esperança de ambos os lados e usamos linearidade de E:
\begin{aligned} \operatorname{var}(Y) &=E\bigl[(Y-E[Y])^{2}\bigr]\\\ &=E\bigl[(Y-E[Y\mid X])^{2}\bigr] +2E\Bigl[(Y-E[Y\mid X])\bigl(E[Y\mid X]-E[Y]\bigr)\Bigr] +E\bigl[(E[Y\mid X]-E[Y])^{2}\bigr]. \end{aligned}

Passo 5

Mostramos que o termo cruzado vale zero:
Considere
T:=E\Bigl[(Y-E[Y\mid X])\bigl(E[Y\mid X]-E[Y]\bigr)\Bigr].
Usamos a lei da esperança total (ou propriedade de condicionamento) para escrever T como esperança iterada:
T=E\Bigl[\,E\bigl[(Y-E[Y\mid X])\bigl(E[Y\mid X]-E[Y]\bigr)\mid X\bigr]\,\Bigr].
Dentro da esperança condicional, \bigl(E[Y\mid X]-E[Y]\bigr) é uma função de X, logo pode ser fatorada:
E\bigl[(Y-E[Y\mid X])\bigl(E[Y\mid X]-E[Y]\bigr)\mid X\bigr] =\bigl(E[Y\mid X]-E[Y]\bigr)\cdot E\bigl[Y-E[Y\mid X]\mid X\bigr].
Mas E\bigl[Y-E[Y\mid X]\mid X\bigr]=E[Y\mid X]-E[Y\mid X]=0. Portanto o produto é zero quase certamente, e assim
T=E[0]=0.
Logo o termo cruzado desaparece.

Passo 6

Analiso agora os dois termos restantes da decomposição:
  1. O primeiro termo é
E\bigl[(Y-E[Y\mid X])^{2}\bigr].
Usando a lei da esperança total (esperança iterada) podemos escrever
E\bigl[(Y-E[Y\mid X])^{2}\bigr]=E\Bigl[\,E\bigl[(Y-E[Y\mid X])^{2}\mid X\bigr]\,\Bigr].
Mas, por definição, a esperança condicional do quadrado é exatamente a variância condicional:
E\bigl[(Y-E[Y\mid X])^{2}\mid X\bigr]=\operatorname{var}(Y\mid X).
Portanto
E\bigl[(Y-E[Y\mid X])^{2}\bigr]=E\bigl[\operatorname{var}(Y\mid X)\bigr].

Passo 7

  1. O último termo é
E\bigl[(E[Y\mid X]-E[Y])^{2}\bigr].
Pela própria definição de variância, isso é a variância da variável aleatória E[Y\mid X]:
E\bigl[(E[Y\mid X]-E[Y])^{2}\bigr]=\operatorname{var}\bigl(E[Y\mid X]\bigr).

Passo 8

Substituindo tudo de volta na expressão do Passo 4 e lembrando que o termo cruzado é zero (Passo 5), obtemos
\operatorname{var}(Y)=E\bigl[\operatorname{var}(Y\mid X)\bigr]+\operatorname{var}\bigl(E[Y\mid X]\bigr).
Pronto — chegamos exatamente à identidade pedida.

Resposta

\operatorname{var}(Y)=E\bigl[\operatorname{var}(Y\mid X)\bigr]+\operatorname{var}\bigl(E[Y\mid X]\bigr).

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