Sejam
e
variáveis aleatórias tais que
tem esperança finita.
Demonstre que
, i.e., a variância de
é a soma da esperança da variância condicional e a variância da esperança condicional.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são variáveis aleatórias e que
tem esperança finita. Pede-se para demonstrar a identidade
Informações relevantes fornecidas:
-
tem esperança finita, logo está bem definida (assumimos também que as esperanças condicionais necessárias existem). - Devemos relacionar a variância de
com a variância condicional e a esperança condicional .
Passo 2
Vou lembrar definições e propriedades que usaremos (explicadas devagarinho):
- Definição da variância:
. Aqui é a esperança (média) de . - Definição da esperança condicional:
é uma função (mensurável em ) tal que, para qualquer conjunto determinado por , a média condicional tem as propriedades usuais; intuitivamente é a "média de sabendo ". - Definição da variância condicional:
. É uma variável aleatória (função de ). - Propriedade da torre (lei da esperança total):
. - Linearidade da esperança:
e para constante . - Propriedade útil de condicionamento: se
é função de (ou seja, mensurável em relação a ), então Em palavras: podemos “fatorar” para fora do condicionamento qualquer função que dependa só de .
Passo 3
Começamos a manipular a expressão da variância de
. Escrevo a diferença
somando e subtraindo
:
Agora quadramos os dois lados e usamos
:
Passo 4
Tomamos esperança de ambos os lados e usamos linearidade de
:
Passo 5
Mostramos que o termo cruzado vale zero:
Considere
Considere
Usamos a lei da esperança total (ou propriedade de condicionamento) para escrever
como esperança iterada:
Dentro da esperança condicional,
é uma função de
, logo pode ser fatorada:
Mas
. Portanto o produto é zero quase certamente, e assim
Logo o termo cruzado desaparece.
Passo 6
Analiso agora os dois termos restantes da decomposição:
- O primeiro termo é
Usando a lei da esperança total (esperança iterada) podemos escrever
Mas, por definição, a esperança condicional do quadrado é exatamente a variância condicional:
Portanto
Passo 7
- O último termo é
Pela própria definição de variância, isso é a variância da variável aleatória
:
Passo 8
Substituindo tudo de volta na expressão do Passo 4 e lembrando que o termo cruzado é zero (Passo 5), obtemos
Pronto — chegamos exatamente à identidade pedida.