Sejam X e Y variáveis aleatórias que somente assumem os valores 0 e 1 . Prove que se X e Y são não correlacionadas, então elas são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, X e Y, que só podem ser 0 ou 1. A questão pede para a gente provar que, se X e Y não são correlacionadas, então elas são independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa serem não correlacionadas e independentes, além de usar algumas propriedades básicas de probabilidades e correlação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas variáveis serem não correlacionadas. Duas variáveis X e Y são não correlacionadas se a covariância entre elas é zero, ou seja:
Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0
Isso implica que:
E[XY] = E[X]E[Y]

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é independência entre duas variáveis. X e Y são independentes se a probabilidade conjunta de qualquer par de eventos é igual ao produto das probabilidades individuais. Ou seja, para todos os valores de x e y:
P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)
Como X e Y só assumem 0 e 1, precisamos verificar isso para os quatro possíveis pares: (0,0), (0,1), (1,0) e (1,1).

Passo 4

Vamos calcular as expectativas E[X], E[Y] e E[XY].
Como X e Y só podem ser 0 ou 1:
E[X] = P(X=1)
E[Y] = P(Y=1)
E:
E[XY] = P(X=1, Y=1)
Dado que Cov(X,Y) = 0, temos:
P(X=1, Y=1) = P(X=1)P(Y=1)

Passo 5

Vamos analisar as probabilidades:
  • P(X=0, Y=0) = 1 - P(X=1, Y=0) - P(X=0, Y=1) - P(X=1, Y=1)
    Como já sabemos que P(X=1, Y=1) = P(X=1)P(Y=1), precisamos mostrar que:
P(X=1, Y=0) = P(X=1)P(Y=0)
P(X=0, Y=1) = P(X=0)P(Y=1)
Como P(Y=0) = 1 - P(Y=1), e similarmente para P(X=0), substituindo, veremos que todas as probabilidades conjuntas se igualam ao produto das marginais.

Passo 6

Vamos definir:
p = P(X=1)
q = P(Y=1)
Então:
P(X=0) = 1 - p
P(Y=0) = 1 - q
Usando P(X=1, Y=1) = pq, temos:
P(X=1, Y=0) = P(X=1) - P(X=1, Y=1) = p - pq = p(1 - q) = P(X=1)P(Y=0)
E de forma similar:
P(X=0, Y=1) = P(Y=1) - P(X=1, Y=1) = q - pq = q(1 - p) = P(X=0)P(Y=1)
Finalmente:
P(X=0, Y=0) = 1 - p - q + pq = (1 - p)(1 - q) = P(X=0)P(Y=0)

Resposta

Assim, mostramos que todas as probabilidades conjuntas são iguais ao produto das probabilidades marginais, ou seja, X e Y são independentes.

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