Sejam
e
variáveis aleatórias que somente assumem os valores 0 e 1 . Prove que se
e
são não correlacionadas, então elas são independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias,
e
, que só podem ser 0 ou 1. A questão pede para a gente provar que, se
e
não são correlacionadas, então elas são independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa serem não correlacionadas e independentes, além de usar algumas propriedades básicas de probabilidades e correlação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas variáveis serem não correlacionadas. Duas variáveis
e
são não correlacionadas se a covariância entre elas é zero, ou seja:
Isso implica que:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é independência entre duas variáveis.
e
são independentes se a probabilidade conjunta de qualquer par de eventos é igual ao produto das probabilidades individuais. Ou seja, para todos os valores de
e
:
Como
e
só assumem 0 e 1, precisamos verificar isso para os quatro possíveis pares:
,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as expectativas
,
e
.
Como e
só podem ser 0 ou 1:
Como
E:
Dado que
, temos:
Passo 5
Vamos analisar as probabilidades:
-
Como já sabemos que, precisamos mostrar que:
Como
, e similarmente para
, substituindo, veremos que todas as probabilidades conjuntas se igualam ao produto das marginais.
Passo 6
Vamos definir:
Então:
Usando
, temos:
E de forma similar:
Finalmente:
Resposta
Assim, mostramos que todas as probabilidades conjuntas são iguais ao produto das probabilidades marginais, ou seja,
e
são independentes.