Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
c) Distribuição exponencial de parâmetro lambda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Distribuição Exponencial com parâmetro lambda. A gente vai precisar entender qual é a função de densidade de probabilidade dessa distribuição, identificar onde ela está definida (suporte), calcular a esperança (média), a variância, além de identificar seus parâmetros e o espaço paramétrico, que é basicamente os valores que os parâmetros podem assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a função de densidade de probabilidade (fdp) da distribuição exponencial. A fdp descreve a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor específico. Para a distribuição exponencial com parâmetro lambda, a função é dada por:
f(x) = lambda e^-lambda x & se x >= 0, 0 & caso contrário á
Isso significa que a probabilidade de x ser menor que 0 é zero, e para valores maiores ou iguais a zero, a probabilidade decai exponencialmente conforme x aumenta.

Passo 3

Agora, vamos identificar o suporte da distribuição, ou seja, os valores de x para os quais a fdp é diferente de zero. Observando a função que escrevemos:
x >= 0
Então, o suporte é todo número real não negativo.

Passo 4

Vamos calcular a esperança (média) da distribuição exponencial. A esperança E(X) para a distribuição exponencial é dada por:
E(X) = 1lambda
Isso significa que a média do tempo até que ocorra um evento em um processo que segue essa distribuição é inversamente proporcional ao parâmetro lambda.

Passo 5

A seguir, vamos calcular a variância da distribuição. A variância Var(X) mede a dispersão dos valores em torno da média e, para a distribuição exponencial, é dada por:
Var(X) = 1lambda^2
Isso mostra que a variabilidade da distribuição também depende do parâmetro lambda, de forma que quanto maior lambda, menor a variância.

Passo 6

Agora, vamos identificar os parâmetros da distribuição. No caso da distribuição exponencial, há apenas um parâmetro: lambda, que é a taxa do processo.

Passo 7

Por fim, vamos determinar o espaço paramétrico, ou seja, os valores que o parâmetro lambda pode assumir. Para que a distribuição seja válida, lambda deve ser um número positivo:
lambda > 0

Resposta

Resumo da Distribuição Exponencial de parâmetro lambda:
  • Função de Densidade de Probabilidade (fdp):
f(x) = lambda e^-lambda x & se x >= 0, 0 & caso contrário á
  • Suporte: x >= 0
  • Esperança: E(X) = 1lambda
  • Variância: Var(X) = 1lambda^2
  • Parâmetros: lambda
  • Espaço Paramétrico: lambda > 0

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