Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
c) Distribuição exponencial de parâmetro
.
c) Distribuição exponencial de parâmetro
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Distribuição Exponencial com parâmetro
. A gente vai precisar entender qual é a função de densidade de probabilidade dessa distribuição, identificar onde ela está definida (suporte), calcular a esperança (média), a variância, além de identificar seus parâmetros e o espaço paramétrico, que é basicamente os valores que os parâmetros podem assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a função de densidade de probabilidade (fdp) da distribuição exponencial. A fdp descreve a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor específico. Para a distribuição exponencial com parâmetro
, a função é dada por:
Isso significa que a probabilidade de
ser menor que 0 é zero, e para valores maiores ou iguais a zero, a probabilidade decai exponencialmente conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos identificar o suporte da distribuição, ou seja, os valores de
para os quais a fdp é diferente de zero. Observando a função que escrevemos:
Então, o suporte é todo número real não negativo.
Passo 4
Vamos calcular a esperança (média) da distribuição exponencial. A esperança
para a distribuição exponencial é dada por:
Isso significa que a média do tempo até que ocorra um evento em um processo que segue essa distribuição é inversamente proporcional ao parâmetro
.
Passo 5
A seguir, vamos calcular a variância da distribuição. A variância
mede a dispersão dos valores em torno da média e, para a distribuição exponencial, é dada por:
Isso mostra que a variabilidade da distribuição também depende do parâmetro
, de forma que quanto maior
, menor a variância.
Passo 6
Agora, vamos identificar os parâmetros da distribuição. No caso da distribuição exponencial, há apenas um parâmetro:
, que é a taxa do processo.
Passo 7
Por fim, vamos determinar o espaço paramétrico, ou seja, os valores que o parâmetro
pode assumir. Para que a distribuição seja válida,
deve ser um número positivo:
Resposta
Resumo da Distribuição Exponencial de parâmetro
:
- Função de Densidade de Probabilidade (fdp):
- Suporte:
- Esperança:
- Variância:
- Parâmetros:
- Espaço Paramétrico: