Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
h) Distribuição log-normal de parâmetros
e
.
h) Distribuição log-normal de parâmetros
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a distribuição log-normal com parâmetros
e
. A gente precisa escrever a função de densidade de probabilidade (PDF), identificar o suporte, calcular a esperança, a variância, listar os parâmetros e definir o espaço paramétrico. Pra isso, vamos precisar saber o que é uma distribuição log-normal e como ela se relaciona com a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma variável aleatória
tem uma distribuição log-normal se o logaritmo natural dela, ou seja,
, segue uma distribuição normal. Portanto, se
, então
.
Passo 3
A função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição log-normal é dada por:
Isso significa que a probabilidade de
assumir um valor específico é descrita por essa função.
Passo 4
Suporte: O suporte da distribuição log-normal é todo número real positivo. Então,
Isso faz sentido porque o logaritmo natural só está definido para valores positivos.
Passo 5
Esperança (Média): A esperança de uma variável log-normal é dada por:
Isso mostra que a média depende exponencialmente dos parâmetros
e
.
Passo 6
Variância: A variância de
é calculada por:
Essa fórmula nos diz o quanto os valores de
variam em torno da média.
Passo 7
Parâmetros: Os parâmetros da distribuição log-normal são:
-
: a média do logaritmo de . -
: a variância do logaritmo de .
Esses parâmetros determinam a forma e a dispersão da distribuição.
Passo 8
Espaço Paramétrico: Os parâmetros
e
pertencem aos reais, mas
deve ser positivo. Portanto,
Resposta
A distribuição log-normal com parâmetros
e
tem a função de densidade de probabilidade:
- Suporte:
- Esperança:
- Variância:
- Parâmetros:
e - Espaço Paramétrico:
e