Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
h) Distribuição log-normal de parâmetros mu e sigma^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a distribuição log-normal com parâmetros mu e sigma^2. A gente precisa escrever a função de densidade de probabilidade (PDF), identificar o suporte, calcular a esperança, a variância, listar os parâmetros e definir o espaço paramétrico. Pra isso, vamos precisar saber o que é uma distribuição log-normal e como ela se relaciona com a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma variável aleatória X tem uma distribuição log-normal se o logaritmo natural dela, ou seja, ln(X), segue uma distribuição normal. Portanto, se ln(X) sim N(mu, sigma^2), então X sim Log-Normal(mu, sigma^2).

Passo 3

A função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição log-normal é dada por:
fX(x) = 1x sigma raiz2pi exp( -(ln x - mu)^22sigma^2 ), x > 0
Isso significa que a probabilidade de X assumir um valor específico é descrita por essa função.

Passo 4

Suporte: O suporte da distribuição log-normal é todo número real positivo. Então,
Suporte: x in (0, infty)
Isso faz sentido porque o logaritmo natural só está definido para valores positivos.

Passo 5

Esperança (Média): A esperança de uma variável log-normal é dada por:
E[X] = exp( mu + sigma^22 )
Isso mostra que a média depende exponencialmente dos parâmetros mu e sigma^2.

Passo 6

Variância: A variância de X é calculada por:
Var(X) = ( exp(sigma^2) - 1 ) exp( 2mu + sigma^2 )
Essa fórmula nos diz o quanto os valores de X variam em torno da média.

Passo 7

Parâmetros: Os parâmetros da distribuição log-normal são:
  • mu: a média do logaritmo de X.
  • sigma^2: a variância do logaritmo de X.
Esses parâmetros determinam a forma e a dispersão da distribuição.

Passo 8

Espaço Paramétrico: Os parâmetros mu e sigma^2 pertencem aos reais, mas sigma^2 deve ser positivo. Portanto,
mu in R, sigma^2 > 0

Resposta

A distribuição log-normal com parâmetros mu e sigma^2 tem a função de densidade de probabilidade:
fX(x) = 1x sigma raiz2pi exp( -(ln x - mu)^22sigma^2 ), x > 0
  • Suporte: x in (0, infty)
  • Esperança: E[X] = exp( mu + sigma^22 )
  • Variância: Var(X) = ( exp(sigma^2) - 1 ) exp( 2mu + sigma^2 )
  • Parâmetros: mu e sigma^2
  • Espaço Paramétrico: mu in R e sigma^2 > 0

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