As especificações para um produto de uma certa liga metálica exigem 23,2 % de cobre. Uma amostra de 10 análises de um produto mostraram uma média de 23,5 % e um desvio padrão de 0,24 %. Podemos concluir que os produdos satisfazem as especificações exigidas a um nível de significância de:
(b) 0,05?;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma liga metálica que precisa ter exatamente 23,2% de cobre. Foi feita uma análise em 10 amostras desse produto e a média encontrada foi 23,5%, com um desvio padrão de 0,24%. A gente quer saber se, com esse resultado, podemos dizer que os produtos estão de acordo com a especificação de 23,2% de cobre, usando um nível de significância de 5% (ou seja, 0,05). Para resolver isso, vamos usar o teste de hipóteses.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ( H0) é que a média real de cobre na liga é igual à especificada, ou seja, 23,2%. A hipótese alternativa ( H1) é que a média real é diferente de 23,2%.
Então:
H0: mu = 23,2%
H1: mu neq 23,2%

Passo 3

Como temos uma amostra pequena (10 análises) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para calcular a estatística t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx é a média amostral ( 23,5%),
  • mu0 é a média sob a hipótese nula ( 23,2%),
  • s é o desvio padrão amostral ( 0,24%),
  • n é o tamanho da amostra (10).

Passo 4

Vamos calcular o valor de t:
t = 23,5 - 23,20,24 / raiz10 = 0,30,0758 approx 3,96

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para o nosso nível de significância de 0,05 em um teste bicaudal. Para n - 1 = 9 graus de liberdade, consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, o valor crítico é aproximadamente 2,262.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t ( 3,96) com o valor crítico ( 2,262). Como 3,96 > 2,262, estamos na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Através do teste, concluímos que há evidências suficientes para afirmar que os produtos não satisfazem as especificações exigidas de 23,2% de cobre com um nível de significância de 5%.

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