Sejam x e y vetores não nulos. Suponha que exista uma decomposição x=x_{\|}+x_{\perp}, onde x_{\|}é paralelo a y e x_{\perp} é perpendicular a y. Suponha ainda que exista outra decomposição x=x_{\|}^{\prime}+x_{\perp}^{\prime}, onde x_{\|}^{\prime} é paralelo a y e x_{\perp}^{\prime} é perpendicular a \vec{v}. Mostre que x_{\|}=x_{\|}^{\prime} e x_{\perp}=x_{\perp}^{\prime}, isto é, a decomposição de x em componente paralela e componente ortogonal a y é única.
Observação: É possível mostrar que a decomposição como enunciada sempre existe. O vetor x_{\|}é chaado de projeção ortogonal de x em y.

Passo 1

O enunciado dá duas decomposições do mesmo vetor x em componentes "paralela a y" e "perpendicular a y":
  • Existe x = x_{\|} + x_{\perp}, com x_{\|} paralelo a y e x_{\perp} perpendicular a y.
  • Existe x = x_{\|}^{\prime} + x_{\perp}^{\prime}, com x_{\|}^{\prime} paralelo a y e x_{\perp}^{\prime} perpendicular a y.
O que se pede: mostrar que as duas decomposições são iguais termo a termo, isto é,
x_{\|} = x_{\|}^{\prime} \qquad\text{e}\qquad x_{\perp} = x_{\perp}^{\prime}.
Informações relevantes dadas:
  • x e y são vetores não nulos.
  • Em cada decomposição, a parte com índice \| é paralela a y e a parte com índice \perp é perpendicular a y.

Passo 2

Vamos traduzir "paralela a y" e "perpendicular a y" com linguagem vetorial e introduzir notação simples.
  • Dizer que um vetor u é paralelo a y significa que existe um escalar \alpha tal que u = \alpha y.
    • Aqui \alpha é um número real que escala y.
  • Dizer que um vetor v é perpendicular a y significa que o produto interno (produto escalar) entre v e y é zero: v\cdot y = 0.
    • Lembrete: o produto interno a\cdot b é uma operação bilinear que mede alinhamento; se a\cdot b=0 os vetores são ortogonais.
Portanto, podemos escrever
x_{\|} = \alpha y,\qquad x_{\|}^{\prime} = \beta y
para alguns escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}, e
x_{\perp}\cdot y = 0,\qquad x_{\perp}^{\prime}\cdot y = 0.

Passo 3

Subtraia as duas expressões que dão x. Como ambas somam para x, obtemos
0 = x - x = (x_{\|}+x_{\perp}) - (x_{\|}^{\prime}+x_{\perp}^{\prime}) = (x_{\|}-x_{\|}^{\prime}) + (x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime}).
Isso significa que o vetor (x_{\|}-x_{\|}^{\prime}) é o oposto de (x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime}). Vamos usar o produto interno com y para separar informações sobre essas diferenças.

Passo 4

Tome produto interno com y na igualdade do passo anterior. Usando linearidade do produto interior,
0 = 0\cdot y = \big[(x_{\|}-x_{\|}^{\prime}) + (x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime})\big]\cdot y = (x_{\|}-x_{\|}^{\prime})\cdot y + (x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime})\cdot y.
Mas x_{\perp} e x_{\perp}^{\prime} são ambos perpendiculares a y, então
(x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime})\cdot y = x_{\perp}\cdot y - x_{\perp}^{\prime}\cdot y = 0-0=0.
Logo sobra
0 = (x_{\|}-x_{\|}^{\prime})\cdot y.

Passo 5

Agora use que x_{\|}-x_{\|}^{\prime} = \alpha y - \beta y = (\alpha-\beta)y. Então
0 = (x_{\|}-x_{\|}^{\prime})\cdot y = (\alpha-\beta) y\cdot y = (\alpha-\beta)\|y\|^{2},
onde \|y\|^{2}=y\cdot y é o quadrado da norma de y.
Como foi dado que y é não nulo, tem-se \|y\|^{2}>0. Portanto a única solução para a equação acima é
\alpha-\beta = 0,
isto é,
\alpha = \beta.
Com isso concluímos que
x_{\|} = \alpha y = \beta y = x_{\|}^{\prime}.

Passo 6

Tendo mostrado que x_{\|}=x_{\|}^{\prime}, voltamos à igualdade do passo 3:
0 = (x_{\|}-x_{\|}^{\prime}) + (x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime}).
Como x_{\|}-x_{\|}^{\prime}=0, segue imediatamente que
x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime}=0,
ou seja
x_{\perp}=x_{\perp}^{\prime}.
Alternativamente (uma verificação útil para prova): se preferir ver isso tomando norma, note que
0 = (x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime})\cdot (x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime}) = \|x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime}\|^{2},
o que implica x_{\perp}-x_{\perp}^{\prime}=0 e, portanto, x_{\perp}=x_{\perp}^{\prime}.

Passo 7

Resumo da lógica: escrevemos as partes paralelas como múltiplos de y, subtraímos as decomposições, projetamos a diferença em y (usando produto interno) para obter uma equação envolvendo \|y\|^{2}, usamos que \|y\|^{2}>0 porque y\neq 0, concluímos que os escalares são iguais e, por fim, que as componentes paralela e perpendicular coincidem em ambas as decomposições. Assim a decomposição é única.

Resposta

x_{\|}=x_{\|}^{\prime}
x_{\perp}=x_{\perp}^{\prime}

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