Sejam
e
vetores não nulos. Suponha que exista uma decomposição
, onde
é paralelo a
e
é perpendicular a
. Suponha ainda que exista outra decomposição
, onde
é paralelo a
e
é perpendicular a
. Mostre que
e
, isto é, a decomposição de
em componente paralela e componente ortogonal a
é única.
Observação: É possível mostrar que a decomposição como enunciada sempre existe. O vetor
é chaado de projeção ortogonal de
em
.
Observação: É possível mostrar que a decomposição como enunciada sempre existe. O vetor
Passo 1
O enunciado dá duas decomposições do mesmo vetor
em componentes "paralela a
" e "perpendicular a
":
- Existe
, com paralelo a e perpendicular a . - Existe
, com paralelo a e perpendicular a .
O que se pede: mostrar que as duas decomposições são iguais termo a termo, isto é,
Informações relevantes dadas:
-
e são vetores não nulos. - Em cada decomposição, a parte com índice
é paralela a e a parte com índice é perpendicular a .
Passo 2
Vamos traduzir "paralela a
" e "perpendicular a
" com linguagem vetorial e introduzir notação simples.
- Dizer que um vetor
é paralelo a significa que existe um escalar tal que . - Aqui
é um número real que escala .
- Aqui
- Dizer que um vetor
é perpendicular a significa que o produto interno (produto escalar) entre e é zero: - Lembrete: o produto interno
é uma operação bilinear que mede alinhamento; se os vetores são ortogonais.
- Lembrete: o produto interno
Portanto, podemos escrever
para alguns escalares
, e
Passo 3
Subtraia as duas expressões que dão
. Como ambas somam para
, obtemos
Isso significa que o vetor
é o oposto de
. Vamos usar o produto interno com
para separar informações sobre essas diferenças.
Passo 4
Tome produto interno com
na igualdade do passo anterior. Usando linearidade do produto interior,
Mas
e
são ambos perpendiculares a
, então
Logo sobra
Passo 5
Agora use que
. Então
onde
é o quadrado da norma de
.
Como foi dado que
é não nulo, tem-se
. Portanto a única solução para a equação acima é
isto é,
Com isso concluímos que
Passo 6
Tendo mostrado que
, voltamos à igualdade do passo 3:
Como
, segue imediatamente que
ou seja
Alternativamente (uma verificação útil para prova): se preferir ver isso tomando norma, note que
o que implica
e, portanto,
.
Passo 7
Resumo da lógica: escrevemos as partes paralelas como múltiplos de
, subtraímos as decomposições, projetamos a diferença em
(usando produto interno) para obter uma equação envolvendo
, usamos que
porque
, concluímos que os escalares são iguais e, por fim, que as componentes paralela e perpendicular coincidem em ambas as decomposições. Assim a decomposição é única.