Sejam
e
vetores do
. Mostre que se
é perpendicular a
e
, então
é perpendicular a
, onde
e
são números reais quaisquer.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- São vetores em
: . -
é perpendicular a e a . Isso significa que, nas notações usuais, satisfaz duas igualdades que vamos usar: e . -
e são números reais quaisquer.
O que é pedido:
- Mostrar que
é perpendicular a ; ou seja, provar que
Passo 2
Vamos lembrar e definir com calma o que é o produto escalar (dot product) em
, porque a perpendicularidade aqui se baseia nisso.
Se
e
são vetores em
, o produto escalar
é definido por
Explicando: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados. A perpendicularidade (ortogonalidade) entre dois vetores
e
é definida por
perpendicular a
se, e somente se,
.
Passo 3
Agora precisamos de duas propriedades elementares do produto escalar, que seguem diretamente da definição por componentes:
- Distributividade em relação à soma:
- Compatibilidade com multiplicação por escalar:
para todo
.
Vou provar essas duas propriedades de forma direta (com contas que você pode reproduzir na prova):
Se
,
e
, então
Pela distributividade da multiplicação sobre a soma nos números reais,
Isso é exatamente
Logo a propriedade 1 está provada.
Para a propriedade 2, se
,
Como
é constante, pode sair da soma:
Pronto — propriedades demonstradas.
Passo 4
Com as propriedades estabelecidas, calculemos
aplicando primeiro a compatibilidade com escalares e depois a distributividade:
Pela propriedade de escalares:
Portanto
Agora usamos as hipóteses do enunciado:
e
. Substituindo:
Passo 5
Interpretação final e observação útil: mostrámos que o produto escalar de
com qualquer combinação linear
é zero. Em linguagem geométrica, isto diz que se
é ortogonal a dois vetores, então
é ortogonal a qualquer vetor do subespaço gerado por esses dois vetores (ou seja, a qualquer combinação linear deles). Isso é frequentemente usado em provas e problemas envolvendo subespaços e ortogonalidade.