Sejam x, y e z vetores do \mathbb{R}^{n}. Mostre que se x é perpendicular a y e z, então x é perpendicular a a y+b z, onde a e b são números reais quaisquer.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • São vetores em \mathbb{R}^{n}: x,\;y,\;z.
  • x é perpendicular a y e a z. Isso significa que, nas notações usuais, x satisfaz duas igualdades que vamos usar: x\cdot y=0 e x\cdot z=0.
  • a e b são números reais quaisquer.
O que é pedido:
  • Mostrar que x é perpendicular a a y + b z; ou seja, provar que
x\cdot(ay+bz)=0.

Passo 2

Vamos lembrar e definir com calma o que é o produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^{n}, porque a perpendicularidade aqui se baseia nisso.
Se u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n) são vetores em \mathbb{R}^{n}, o produto escalar u\cdot v é definido por
u\cdot v = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
Explicando: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados. A perpendicularidade (ortogonalidade) entre dois vetores u e v é definida por u perpendicular a v se, e somente se, u\cdot v=0.

Passo 3

Agora precisamos de duas propriedades elementares do produto escalar, que seguem diretamente da definição por componentes:
  1. Distributividade em relação à soma:
u\cdot(v+w)=u\cdot v + u\cdot w.
  1. Compatibilidade com multiplicação por escalar:
u\cdot(c v)=c\,(u\cdot v)
para todo c\in\mathbb{R}.
Vou provar essas duas propriedades de forma direta (com contas que você pode reproduzir na prova):
Se u=(u_1,\dots,u_n), v=(v_1,\dots,v_n) e w=(w_1,\dots,w_n), então
u\cdot(v+w)=\sum_{i=1}^{n} u_i (v_i+w_i).
Pela distributividade da multiplicação sobre a soma nos números reais,
\sum_{i=1}^{n} u_i (v_i+w_i)=\sum_{i=1}^{n} (u_i v_i) + \sum_{i=1}^{n} (u_i w_i).
Isso é exatamente
u\cdot v + u\cdot w.
Logo a propriedade 1 está provada.
Para a propriedade 2, se c\in\mathbb{R},
u\cdot(c v)=\sum_{i=1}^{n} u_i (c v_i)=\sum_{i=1}^{n} (c\,u_i v_i).
Como c é constante, pode sair da soma:
\sum_{i=1}^{n} (c\,u_i v_i)=c \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = c\,(u\cdot v).
Pronto — propriedades demonstradas.

Passo 4

Com as propriedades estabelecidas, calculemos x\cdot(ay+bz) aplicando primeiro a compatibilidade com escalares e depois a distributividade:
x\cdot(ay+bz)=x\cdot( a y ) + x\cdot( b z ).
Pela propriedade de escalares:
x\cdot( a y ) = a\,(x\cdot y), \qquad x\cdot( b z ) = b\,(x\cdot z).
Portanto
x\cdot(ay+bz)=a\,(x\cdot y) + b\,(x\cdot z).
Agora usamos as hipóteses do enunciado: x\cdot y=0 e x\cdot z=0. Substituindo:
x\cdot(ay+bz)=a\cdot 0 + b\cdot 0 = 0.

Passo 5

Interpretação final e observação útil: mostrámos que o produto escalar de x com qualquer combinação linear a y + b z é zero. Em linguagem geométrica, isto diz que se x é ortogonal a dois vetores, então x é ortogonal a qualquer vetor do subespaço gerado por esses dois vetores (ou seja, a qualquer combinação linear deles). Isso é frequentemente usado em provas e problemas envolvendo subespaços e ortogonalidade.

Resposta

\;x\cdot(ay+bz)=0

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