Determine o vetor unitário perpendicular ao eixo
que forme um ângulo de
com o eixo
e um ângulo agudo com o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar o vetor unitário perpendicular ao eixo
que forme um ângulo de
com o eixo
e um ângulo agudo com o eixo
.”
Informações relevantes dadas:
- Queremos um vetor unitário, ou seja, um vetor
com norma . -
é perpendicular ao eixo . - O ângulo entre
e o eixo é . - O ângulo entre
e o eixo é agudo (ou seja, menor que ).
Passo 2
Recordando conceitos úteis (aulas rápidas):
- Um vetor unitário é um vetor com norma
: . - O produto escalar entre dois vetores
e relaciona o cosseno do ângulo entre eles pela fórmula
- Para vetores do sistema cartesiano canônico, o eixo
tem direção , o eixo tem direção e o eixo tem direção . - Se um vetor
é perpendicular a , então .
Passo 3
Usar a condição "perpendicular ao eixo
":
- Isso implica que a componente
do vetor é zero. Logo podemos escrever
Passo 4
Usar a condição do ângulo com o eixo
:
- O ângulo entre
e satisfaz
- Como
(vetor unitário) e , e , obtemos
- Portanto
.
Passo 5
Usar a condição de vetor unitário para achar
:
- Como
é unitário e , vale
- Substituindo
:
- Assim
- Logo
.
Passo 6
Escolher o sinal de
usando a condição "ângulo agudo com o eixo
":
- O cosseno do ângulo entre
e é (porque ambos são unitários). - Ângulo agudo significa cosseno positivo, portanto
. - Assim escolhemos
Passo 7
Escrever o vetor final e conferir rapidamente:
- Reunindo as componentes,
- Verificações rápidas:
(é unitário); ; (ângulo agudo); (perpendicular a ). Tudo confere.