Determine o vetor unitário perpendicular ao eixo O z que forme um ângulo de 60^{\circ} com o eixo O x e um ângulo agudo com o eixo O y.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar o vetor unitário perpendicular ao eixo O z que forme um ângulo de 60^\circ com o eixo O x e um ângulo agudo com o eixo O y.”
Informações relevantes dadas:
  • Queremos um vetor unitário, ou seja, um vetor \vec{u} com norma 1.
  • \vec{u} é perpendicular ao eixo O z.
  • O ângulo entre \vec{u} e o eixo O x é 60^\circ.
  • O ângulo entre \vec{u} e o eixo O y é agudo (ou seja, menor que 90^\circ).

Passo 2

Recordando conceitos úteis (aulas rápidas):
  • Um vetor unitário é um vetor com norma 1: \|\vec{u}\|=1.
  • O produto escalar entre dois vetores \vec{a} e \vec{b} relaciona o cosseno do ângulo entre eles pela fórmula
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}.
  • Para vetores do sistema cartesiano canônico, o eixo O x tem direção \mathbf{i}=(1,0,0), o eixo O y tem direção \mathbf{j}=(0,1,0) e o eixo O z tem direção \mathbf{k}=(0,0,1).
  • Se um vetor \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) é perpendicular a \mathbf{k}, então \vec{u}\cdot\mathbf{k}=u_z=0.

Passo 3

Usar a condição "perpendicular ao eixo O z":
  • Isso implica que a componente z do vetor é zero. Logo podemos escrever
\vec{u}=(u_x,u_y,0).

Passo 4

Usar a condição do ângulo com o eixo O x:
  • O ângulo entre \vec{u} e \mathbf{i} satisfaz
\cos 60^\circ=\frac{\vec{u}\cdot\mathbf{i}}{\|\vec{u}\|\|\mathbf{i}\|}.
  • Como \|\vec{u}\|=1 (vetor unitário) e \|\mathbf{i}\|=1, e \vec{u}\cdot\mathbf{i}=u_x, obtemos
u_x=\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}.
  • Portanto u_x=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Usar a condição de vetor unitário para achar u_y:
  • Como \vec{u} é unitário e u_z=0, vale
u_x^2+u_y^2+u_z^2=1 \quad\Rightarrow\quad u_x^2+u_y^2=1.
  • Substituindo u_x=\tfrac{1}{2}:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+u_y^2=1 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{4}+u_y^2=1.
  • Assim
u_y^2=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
  • Logo u_y=\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Escolher o sinal de u_y usando a condição "ângulo agudo com o eixo O y":
  • O cosseno do ângulo entre \vec{u} e \mathbf{j} é \vec{u}\cdot\mathbf{j} = u_y (porque ambos são unitários).
  • Ângulo agudo significa cosseno positivo, portanto u_y>0.
  • Assim escolhemos
u_y=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Escrever o vetor final e conferir rapidamente:
  • Reunindo as componentes,
\vec{u}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\right).
  • Verificações rápidas: \|\vec{u}\|^2=\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}+0=1 (é unitário); \vec{u}\cdot\mathbf{i}=\tfrac{1}{2}=\cos60^\circ; \vec{u}\cdot\mathbf{j}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}>0 (ângulo agudo); \vec{u}\cdot\mathbf{k}=0 (perpendicular a O z). Tudo confere.

Resposta

\vec{u}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\right)

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