Sejam
v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de
, nos seguintes casos:
para
.
para
Passo 1
Beleza, vamos simplificar o que o enunciado pede. A pergunta é: temos
variáveis aleatórias independentes
, todas com distribuição Exponencial de parâmetro
. Queremos descobrir qual é a distribuição de
usando função geradora de momentos (MGF).
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Definição e cálculo de MGF de uma variável aleatória.
- Propriedade de MGF de soma de variáveis independentes (é o produto das MGFs).
- Reconhecimento da MGF resultante como a de uma Gamma (ou Erlang, no caso inteiro).
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de MGF: para uma v.a.
,
No caso de
, calculamos
Essa integral converge se
e dá
Passo 3
Agora, como
são independentes, a MGF de
é o produto das MGFs individuais:
Passo 4
Só falta reconhecer essa MGF. A MGF de uma distribuição Gamma com “shape”
e “rate”
é
Comparando, vemos que
. Ou seja,
que no caso inteiro também fica conhecida como distribuição Erlang.
Resposta
e podemos chamar isso de
.