Sejam X1, ldots, Xn v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de Sn=X1+cdots+Xn, nos seguintes casos:
Xi sim Exp(lambda)
para i=1, ldots, n.

Passo 1

Beleza, vamos simplificar o que o enunciado pede. A pergunta é: temos Sn = X1 + cdots + Xn variáveis aleatórias independentes , todas com distribuição Exponencial de parâmetro . Queremos descobrir qual é a distribuição de
usando função geradora de momentos (MGF).
Conteúdo envolvido:
  • Definição e cálculo de MGF de uma variável aleatória.
  • Propriedade de MGF de soma de variáveis independentes (é o produto das MGFs).
  • Reconhecimento da MGF resultante como a de uma Gamma (ou Erlang, no caso inteiro).

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de MGF: para uma v.a. MX(t) = E[e^tX] ,
MXi(t) = integral0^infty e^tx ,lambda e^-lambda x,dx = lambda integral0^infty e^-(lambda - t)x,dx
No caso de MXi(t) = lambdalambda - t, t, calculamos
Essa integral converge se e dá

Passo 3

Agora, como MSn(t) = prodi=1^n MXi(t) = gl(lambdalambda - tgr)^!n, t são independentes, a MGF de é o produto das MGFs individuais:

Passo 4

Só falta reconhecer essa MGF. A MGF de uma distribuição Gamma com “shape” MGamma(alpha,lambda)(t) = gl(lambdalambda - tgr)^!alpha, t e “rate” Snsim Gamma(n,lambda), é
Comparando, vemos que . Ou seja,
que no caso inteiro também fica conhecida como distribuição Erlang.

Resposta

fSn(s) = lambda^nGamma(n),s^n-1e^-lambda s, s>0, tem distribuição Gamma de parâmetros . Em particular, sua densidade é
e podemos chamar isso de .

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