Sejam
e
duas variáveis aleatórias independentes com distribuç̧ão Binomial,
e
. Seja
obtenha (a)
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função de massa de probabilidade $ f_Z(z) $ da variável aleatória $ Z $, que é a soma de duas variáveis binomiais independentes $ X_1 $ e $ X_2 $ com distribuições $ B(n, p) $ e $ B(m, p) $ respectivamente. Vamos precisar entender como somar variáveis binomiais e aplicar propriedades de distribuições binomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição binomial. Uma variável aleatória $ X $ que segue a distribuição $ B(k, p) $ representa o número de sucessos em $ k $ tentativas independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade $ p $ de sucesso. A função de massa de probabilidade para $ X $ é:
Passo 3
Agora, temos duas variáveis independentes $ X_1 \sim B(n, p) $ e $ X_2 \sim B(m, p) $. Queremos encontrar a distribuição de $ Z = X_1 + X_2 $.
Quando somamos duas variáveis binomiais independentes com a mesma probabilidade de sucesso $ p $, a soma também segue uma distribuição binomial. A nova distribuição terá parâmetros que são a soma dos números de tentativas das duas variáveis originais.
Passo 4
Aplicando essa propriedade, a soma $ Z = X_1 + X_2 $ seguirá uma distribuição binomial $ B(n + m, p) $. Portanto, a função de massa de probabilidade de $ Z $ é:
Resposta
A função de massa de probabilidade de $ Z $ é: