Sejam
e
variáveis aleatórias independentes, tais que
.
(a) Mostre que a f.g.m das v.as X e Y são respectivamente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias,
e
, que são independentes.
segue uma distribuição Exponencial com parâmetro
, e
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A gente quer mostrar que as funções geradoras de momentos (f.g.m.) dessas variáveis são:
Para isso, vamos precisar entender como encontrar a função geradora de momentos para cada distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função geradora de momentos (f.g.m.). A f.g.m. de uma variável aleatória
é definida como:
Isso significa que a f.g.m. basicamente captura todos os momentos (como média, variância, etc.) da distribuição de
.
Passo 3
Vamos começar com a variável
, que segue uma distribuição Exponencial com parâmetro
. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) da Exponencial é:
Para encontrar a f.g.m. de
, usamos a definição:
Passo 4
Substituindo a f.d.p. de
na integral, temos:
Essa integral é de uma função exponencial, e sabemos que:
Passo 5
Aplicando isso na nossa integral, onde
, temos:
Por isso, a f.g.m. de
é:
Passo 6
Agora, vamos para a variável
, que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A probabilidade de
é dada por:
Para encontrar a f.g.m. de
, usamos a definição:
Passo 7
Substituindo
na soma, temos:
Reconhecemos que a soma é a expansão em série de Taylor para
:
Passo 8
Então, substituindo de volta, temos:
Portanto, a f.g.m. de
é:
Resposta
As funções geradoras de momentos das variáveis aleatórias
e
são, respectivamente: