Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, tais que X sim Exponencial(alpha), Y sim Poison(lambda).
U=2 X Y+X
(a) Mostre que a f.g.m das v.as X e Y são respectivamente
mX(t)=alphaalpha-t e my(t)=e^lambda(e^t-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, mX(t) = alphaalpha - t e mY(t) = e^lambda(e^t - 1) e , que são independentes. segue uma distribuição Exponencial com parâmetro , e segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . A gente quer mostrar que as funções geradoras de momentos (f.g.m.) dessas variáveis são:
Para isso, vamos precisar entender como encontrar a função geradora de momentos para cada distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função geradora de momentos (f.g.m.). A f.g.m. de uma variável aleatória mZ(t) = E[e^tZ] é definida como:
Isso significa que a f.g.m. basicamente captura todos os momentos (como média, variância, etc.) da distribuição de .

Passo 3

Vamos começar com a variável fX(x) = alpha e^-alpha x, x >= 0 , que segue uma distribuição Exponencial com parâmetro mX(t) = E[e^tX] = integral0^infty e^tx fX(x) , dx . A função densidade de probabilidade (f.d.p.) da Exponencial é:
Para encontrar a f.g.m. de , usamos a definição:

Passo 4

Substituindo a f.d.p. de mX(t) = integral0^infty e^tx cdot alpha e^-alpha x , dx = alpha integral0^infty e^-(alpha - t)x , dx na integral, temos:
integral0^infty e^-kx , dx = 1k, para k > 0
Essa integral é de uma função exponencial, e sabemos que:

Passo 5

Aplicando isso na nossa integral, onde mX(t) = alpha cdot 1alpha - t = alphaalpha - t , temos:
mX(t) = alphaalpha - t
Por isso, a f.g.m. de é:

Passo 6

Agora, vamos para a variável P(Y = k) = e^-lambda lambda^kk!, k = 0, 1, 2, dots , que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro mY(t) = E[e^tY] = sumk=0^infty e^tk P(Y = k) . A probabilidade de é dada por:
Para encontrar a f.g.m. de , usamos a definição:

Passo 7

Substituindo mY(t) = sumk=0^infty e^tk cdot e^-lambda lambda^kk! = e^-lambda sumk=0^infty (lambda e^t)^kk! na soma, temos:
sumk=0^infty (lambda e^t)^kk! = e^lambda e^t
Reconhecemos que a soma é a expansão em série de Taylor para :

Passo 8

Então, substituindo de volta, temos:
mY(t) = e^-lambda cdot e^lambda e^t = e^lambda (e^t - 1)
Portanto, a f.g.m. de mY(t) = e^lambda(e^t - 1) é:

Resposta

As funções geradoras de momentos das variáveis aleatórias mX(t) = alphaalpha - t e mY(t) = e^lambda(e^t - 1) e são, respectivamente:

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