Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo aqui é integração por decomposição em frações parciais, pois o denominador é um produto de fatores lineares (sendo um fator repetido).
Passo 2
Começamos assumindo a forma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
$$
x^{2}+1 = A(x-2)^{2} + B(x-3)(x-2) + C(x-3).$$
Passo 3
Expandindo e coletando coeficientes em
,
e termo constante, obtemos o sistema:
$$
A + B = 1,\quad -4A - 5B + C = 0,\quad 4A + 6B - 3C = 1.$$
Resolvendo esse sistema, achamos ,
e
.
Resolvendo esse sistema, achamos
Passo 4
Substituindo na integral, fica
Agora integramos cada termo:
Passo 5
Somando os resultados das integrais, chegamos à antiderivada desejada.
Resposta
10\ln|x-3|-9\ln|x-2|+\frac{5}{x-2}+C