Calcule as integrais.
integral x^2+1(x-3)(x-2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integralx^2+1(x-3)(x-2)^2,dx. O conteúdo aqui é integração por decomposição em frações parciais, pois o denominador é um produto de fatores lineares (sendo um fator repetido).

Passo 2

Começamos assumindo a forma de frações parciais:
x^2+1(x-3)(x-2)^2 = Ax-3 + Bx-2 + C(x-2)^2
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x-2)^2, obtemos a identidade
$$
x^{2}+1 = A(x-2)^{2} + B(x-3)(x-2) + C(x-3).$$

Passo 3

Expandindo e coletando coeficientes em x^2, x e termo constante, obtemos o sistema:
$$
A + B = 1,\quad -4A - 5B + C = 0,\quad 4A + 6B - 3C = 1.$$
Resolvendo esse sistema, achamos A + B = 1, -4A - 5B + C = 0, 4A + 6B - 3C = 1, A = 10 e B = -9.

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integral10x-3,dx ;+ integral-9x-2,dx ;+ integral-5(x-2)^2,dx
Agora integramos cada termo:
integral10x-3,dx = 10ln|x-3|,
integral-9x-2,dx = -9ln|x-2|,
integral-5(x-2)^2,dx = -5integral(x-2)^-2,dx = 5,(x-2)^-1

Passo 5

Somando os resultados das integrais, chegamos à antiderivada desejada.

Resposta

10\ln|x-3|-9\ln|x-2|+\frac{5}{x-2}+C

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