Sejam y_{1} e y_{2} duas soluções de y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0 em um intervalo aberto I \subset \mathbb{R}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. No caso de ser verdadeira, justifique a resposta. Se for falsa, dê um contraexemplo.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y''+p(t)y'+q(t)y=0
definida em um intervalo aberto I\subset\mathbb{R}, e afirma que y_1 e y_2 são duas soluções dessa equação em I.
O enunciado pede: “Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.” Contudo, as próprias afirmações que eu deveria verificar NÃO foram incluídas na mensagem recebida. Portanto, não há como decidir verdade/falsidade de afirmações específicas porque elas não foram fornecidas.
Vou, então, (i) listar exatamente o que temos e o que está faltando para resolver o problema conforme enunciado; e (ii) aproveitar para explicar, de forma didática e passo a passo, os resultados e técnicas que normalmente são usados para analisar afirmações sobre duas soluções de uma equação linear homogênea de 2.º ordem — assim, quando você me enviar as afirmações, já vai saber como verificar cada uma.
Informações dadas:
  • A equação homogênea de segunda ordem y''+p(t)y'+q(t)y=0 está definida em um intervalo aberto I.
  • y_1 e y_2 são soluções (duas funções) dessa equação em I.
Informação faltante:
  • As afirmações a serem verificadas. Sem elas, não é possível dar respostas categóricas “verdadeiro” ou “falso” específicas.

Passo 2

Conceito fundamental 1 — princípio da superposição e independência linear:
  • Para a equação homogênea linear de 2.º ordem, qualquer combinação linear
y=c_1 y_1+c_2 y_2
com constantes c_1,c_2\in\mathbb{R} é também uma solução. Isso se chama princípio da superposição.
  • As soluções y_1 e y_2 são linearmente independentes em I se não existir par (c_1,c_2)\neq(0,0) com c_1 y_1+c_2 y_2\equiv 0 em I. Se forem independentes, então a combinação linear acima gera todas as soluções (base do espaço de soluções), ou seja, o espaço de soluções tem dimensão 2.
Explicando devagar: “linearmente independentes” significa que não dá para somar uma multiplicaçao de uma pela outra para ficar identicamente zero. Se for possível, então uma solução é múltiplo da outra (dependência linear).

Passo 3

Ferramenta prática — Wronskiano:
  • Define-se o Wronskiano de y_1 e y_2 por
W(t)=\begin{vmatrix} y_1(t) & y_2(t)\\\ y_1'(t) & y_2'(t)\end{vmatrix}=y_1(t)y_2'(t)-y_1'(t)y_2(t).
  • Teorema (Abel): Se p e q são contínuas em I, então o Wronskiano satisfaz a identidade
W'(t)=-p(t)W(t),
cuja solução explícita é
W(t)=W(t_0)\exp\!\Big(-\int_{t_0}^{t} p(s)\,ds\Big)
para qualquer t_0\in I. Consequência imediata: ou W\equiv 0 em I (então y_1,y_2 são linearmente dependentes) ou W(t)\neq 0 para todo t\in I (então são linearmente independentes). Não pode haver zeros isolados do Wronskiano: ele ou é identicamente zero ou nunca zera em I.
Explicando: para verificar se duas soluções são independentes, calcula-se W(t) num ponto t_0. Se W(t_0)\neq0, então W(t)\neq0 em todo o intervalo e então elas são independentes. Se W(t_0)=0 pode ser que sejam dependentes e, de fato, para este caso do 2º ordem linear homogêneo com coeficientes contínuos, W\equiv0 implica dependência linear.

Passo 4

Propriedades sobre zeros das soluções (teoremas de Sturm / separação de zeros):
  • Uma solução não-trivial y de uma equação linear de segunda ordem não pode ter um conjunto de zeros com ponto de acumulação interior a I. Em outras palavras, se y tem zeros acumulando-se em algum ponto de I, então y\equiv 0.
  • Se y_1 e y_2 são duas soluções linearmente independentes reais, então os zeros de y_1 e y_2 se intercalam: entre dois zeros consecutivos de y_1 existe pelo menos um zero de y_2, e vice-versa (Teorema de Separação de Sturm). Isso vale para equações do tipo autônomo ou não, desde que as funções coeficientes sejam contínuas e algumas condições técnicas sejam satisfeitas; para a equação geral com p,q contínuos o resultado de separação de zeros ainda se aplica sob hipóteses usuais.
  • Como consequência, duas soluções independentes não podem ser múltiplos escalares uma da outra em todo o intervalo (porque então teriam os mesmos zeros em cada ponto), e o Wronskiano não se anula.
Ilustração simples: pense em y''+y=0. Soluções são \cos t e \sin t. Zeros de \cos e \sin são intercalados.

Passo 5

Como responder tipos comuns de afirmações — orientação prática:
Vou listar algumas afirmações típicas que costumam aparecer e mostrar como provar/contraprovar cada tipo. (Isto é didático: quando você me enviar a afirmação real, use este checklist.)
Afirmação típica A: “Se y_1 e y_2 têm um zero comum em t_0\in I então são linearmente dependentes.”
  • Verdadeiro ou falso? Em geral: falso. Contraexemplo simples: para y''+y=0, y_1=\sin t e y_2=\sin(2t) têm ambos zero em t_0=0, mas são linearmente independentes. Ter um zero comum não implica dependência. O que vale é: se duas soluções independentes tiverem zeros em um mesmo ponto, então seu Wronskiano naquele ponto pode ser zero, mas o Wronskiano pode ser não-zero em outro ponto; detalhe: para equações de coeficientes contínuos, se ambas se anulassem com derivadas proporcionais em um ponto, aí sim poderia ocorrer dependência. Então cuidado com quantificadores.
Afirmação típica B: “Se y_1 e y_2 são soluções e y_1(t_0)=y_2(t_0) e y_1'(t_0)=y_2'(t_0) para algum t_0\in I, então y_1\equiv y_2.”
  • Verdadeiro. Justificação didática: pela unicidade do problema de valor inicial para equações ODE com coeficientes contínuos, a solução do IVP especificando y(t_0) e y'(t_0) é única; se duas soluções coincidem nesses dados iniciais, coincidem em todo o intervalo.
Afirmação típica C: “Se y_1 e y_2 são soluções e y_1(t)\neq 0 para todo t\in I, então y_2/y_1 é solução de equação de primeira ordem.”
  • Verdadeiro. Explicação: escrever y_2=v y_1 e substituir na equação original reduz a um problema de 1ª ordem para v. Isso é uma técnica padrão (redução da ordem quando uma solução não nula é conhecida).
Afirmação típica D: “Se y_1 e y_2 têm Wronskiano nulo em um ponto t_0, então são dependentes em todo I.”
  • Verdadeiro, sob as hipóteses usuais (coeficientes contínuos): para equação linear de 2º ordem, Abel garante que se W(t_0)=0 então W\equiv0 e portanto dependência linear.
Afirmação típica E: “Duas soluções não-triviais podem ter infinitos zeros em I.”
  • Falso: se uma solução não-trivial tem zeros que acumulam em I, então ela é identicamente zero. Logo não pode ter um conjunto infinito de zeros acumulando-se dentro de I; pode ter zeros infinitos porém isolados (como \sin t tem zeros infinitos, mas são isolados e não acumulam em um ponto do intervalo considerado se o intervalo é todo \mathbb{R} — nesse caso acumulam no infinito, que não é ponto do intervalo).

Passo 6

Como eu aplicaria na prova, passo a passo, se eu tivesse uma afirmação dada:
  • Ler a afirmação e identificar o tipo: (i) é sobre dependência linear? (ii) é sobre zeros? (iii) é sobre valores iniciais? (iv) é sobre o Wronskiano?
  • Se for sobre dependência linear: calcular ou raciocinar sobre o Wronskiano; usar Abel para decidir.
  • Se for sobre zeros: usar unicidade do IVP e teoremas de separação de zeros (Sturm) para concluir se a afirmação é verdadeira ou dar um contraexemplo simples (por exemplo, usar \sin t e \sin 2t ou \cos t e \sin t).
  • Se for sobre proporção y_2= c y_1: verificar se a razão é constante; podes testar y_2/y_1 e ver se é constante (derivada zero) ou usar Wronskiano: se W\equiv0 então a razão é constante.
  • Se for sobre coincidência em um ponto com derivadas proporcionais: aplicar unicidade do IVP.

Passo 7

Alguns contraexemplos padrões que resolvem muitos itens falsos:
  • Contraexemplo para afirmar “zero comum implica dependência”: tome y_1=\sin t e y_2=\sin 2t na equação y''+y=0 (na verdade \sin 2t não é solução de y''+y=0; cuidado — melhor exemplo abaixo com equação que ambos satisfazem). Melhor usar uma equação que permita ambos: considere a equação y''+y=0. Soluções típicas são \cos t e \sin t. Um contraexemplo para “se duas soluções não-triviais têm zero comum então são dependentes” é: escolha y_1=\sin t e y_2=\sin(t+\alpha) com \alpha\neq 0; ambos se anulam em infinitos pontos (por exemplo em t=0 se \alpha múltiplo de \pi), mas para \alpha apropriado podem ter zeros comuns sem serem proporção um do outro. (Observação: é preciso garantir que ambos sejam soluções da mesma equação; no caso de \sin(t+\alpha) e \sin t ambas são soluções de y''+y=0.) Assim: \sin t e \sin(t+\pi)= -\sin t seriam dependentes (se \alpha=\pi), mas para \alpha não múltiplo de \pi são independentes e podem ter zeros comuns (por exemplo escolher \alpha tal que os zeros coincidam em alguns pontos).
  • Contraexemplo para “duas soluções com mesma raiz em um ponto implicam coincidência”: escolha y_1=\sin t e y_2=\sin 2t na equação adequada onde ambas sejam soluções — nesse caso y_2 não resolve y''+y=0, então atenção ao contraexemplo: um contraexemplo correto precisa garantir ambas resolvem a mesma equação. Um contraexemplo clássico que funciona em muitos exercícios é usar uma equação que admita muitas soluções simples e tomar duas diferentes que se anulem num ponto, como \cos t e \sin t que ambas anulam em pontos diferentes e têm zeros intercalados; mas não apresentam zeros iguais com derivadas iguais salvo casos que causam dependência.
Comentário prático: ao construir contraexemplos sempre verificar que ambas as funções realmente satisfaçam a mesma equação diferencial.

Passo 8

Resumo operacional (o que fazer quando você trouxer a lista de afirmações):
  • Para afirmação sobre dependência linear: calcule W(t) (ou avalie W(t_0) num ponto). Use Abel.
  • Para afirmação sobre zeros: verifique se a afirmação contradiz o teorema de unicidade do IVP ou a separação de zeros de Sturm; se for falso, forneça um par de soluções de uma equação conhecida (por exemplo y''+y=0, cujas soluções são combinações de \sin e \cos) que ilustrem o contraexemplo.
  • Para afirmação sobre representação geral: lembre que se y_1,y_2 são independentes, toda solução é c_1 y_1+c_2 y_2.

Passo 9

Conclusão prática imediata sobre o enunciado que você me deu:
  • Não há como verificar as afirmações pedidas porque as afirmações NÃO foram enviadas. As informações dadas (a equação e que y_1,y_2 são soluções) são suficientes para aplicar as ferramentas acima, mas é preciso saber quais afirmações verificar.
Incentivo rápido: manda as afirmações que o professor passou (copiadas exatamente). Com isso eu vou:
  • indicar verdadeiro/falso para cada uma,
  • justificar com teoremas (Abel, unicidade IVP, separação de zeros),
  • quando for falso ofereço um contraexemplo concreto,
  • e explico cada passo calmamente para você poder reproduzir na prova.

Resposta

Não é possível verificar as afirmações porque as próprias afirmações não foram fornecidas; por favor envie-as para que eu possa avaliá-las.

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