Calcule a área delimitada pela curva y=f(x) a o eixo x no intervalo indicado em cada caso:
f(x)=\operatorname{sen}(x), em [0, \pi];

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: f(x)=\operatorname{sen}(x) no intervalo [0,\pi].
  • Pedido: calcular a área delimitada pela curva y=f(x) e o eixo x no intervalo [0,\pi].

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma). Quando uma função f é não negativa em um intervalo [a,b], a área entre a curva y=f(x) e o eixo x é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Breve ideia do porquê: a integral definida \int_a^b f(x)\,dx é o limite de somas de retângulos (somas de Riemann) que aproximam a área sob a curva; quando f\ge0 esses retângulos têm altura positiva e somam exatamente a área procurada no limite.

Passo 3

Verificar o sinal de \operatorname{sen}(x) em [0,\pi] (isso garante que a integral realmente representa a área, sem necessidade de separar regiões):
  • Conhecimento básico da função seno: em [0,\pi] a função \operatorname{sen}(x) assume valores entre 0 e 1 e é não negativa. Em particular, \operatorname{sen}(0)=0, \operatorname{sen}(\pi)=0 e para x entre 0 e \pi tem \operatorname{sen}(x)>0.
  • Conclusão: \operatorname{sen}(x)\ge0 em [0,\pi], então a área pedida é
\text{Área}=\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx.Á

Passo 4

Calcular a integral definida \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx. Primeiro precisamos de uma primitiva (antiderivada) de \operatorname{sen}(x).

Passo 5

Encontrar a primitiva de \operatorname{sen}(x):
  • Sabemos que a derivada de \cos(x) é -\operatorname{sen}(x), isto é, \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x).
  • Portanto uma primitiva de \operatorname{sen}(x) é -\cos(x), pois
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(x)\bigr)=\operatorname{sen}(x).
Assim pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx=\bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi}.

Passo 6

Avaliar a expressão \bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} passo a passo:
\bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos(\pi)\bigr) - \bigl(-\cos(0)\bigr).
Usar valores conhecidos do cosseno:
\cos(\pi) = -1,\qquad \cos(0)=1.
Substituindo:
\bigl(-\cos(\pi)\bigr) - \bigl(-\cos(0)\bigr) = \bigl(-(-1)\bigr) - \bigl(-(1)\bigr).
Efectuando as operações (um passo por vez):
-(-1)=1,\qquad -(1)=-1,
logo a diferença é
1 - (-1).

Passo 7

Calcular a diferença final:
1 - (-1) = 1 + 1 = 2.
Portanto o valor da integral \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx é 2.

Resposta

2

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