Calcule a área delimitada pela curva
a o eixo
no intervalo indicado em cada caso:
, em
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
no intervalo . - Pedido: calcular a área delimitada pela curva
e o eixo no intervalo .
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma). Quando uma função
é não negativa em um intervalo
, a área entre a curva
e o eixo
é dada pela integral definida
Breve ideia do porquê: a integral definida
é o limite de somas de retângulos (somas de Riemann) que aproximam a área sob a curva; quando
esses retângulos têm altura positiva e somam exatamente a área procurada no limite.
Passo 3
Verificar o sinal de
em
(isso garante que a integral realmente representa a área, sem necessidade de separar regiões):
- Conhecimento básico da função seno: em
a função assume valores entre e e é não negativa. Em particular, , e para entre e tem . - Conclusão:
em , então a área pedida é
Passo 4
Calcular a integral definida
. Primeiro precisamos de uma primitiva (antiderivada) de
.
Passo 5
Encontrar a primitiva de
:
- Sabemos que a derivada de
é , isto é, . - Portanto uma primitiva de
é , pois
Assim pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 6
Avaliar a expressão
passo a passo:
Usar valores conhecidos do cosseno:
Substituindo:
Efectuando as operações (um passo por vez):
logo a diferença é
Passo 7
Calcular a diferença final:
Portanto o valor da integral
é
.
Resposta
2