Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
A área limitada pelas curvas y=-x^{2}+4 e y=-x+2 é a seguinte integral: \int_{-1}^{2}\left(-x^{2}+4 - (-x+2)\right) d x.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e propõe uma integral para a área entre elas. Informações fornecidas:
Curva 1: y=-x^{2}+4.
Curva 2: y=-x+2.
Integral proposta para a área: \displaystyle \int_{-1}^{2}\bigl(-x^{2}+4 - (-x+2)\bigr)\,dx.
O que se pede: decidir se essa expressão realmente representa a área limitada pelas duas curvas.
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção (onde as curvas se encontram), pois os limites de integração para a área entre curvas em x são os valores de x onde elas se cortam. Igualamos as funções:
-x^{2}+4 = -x+2.
Colocando tudo em um lado:
-x^{2}+4 + x -2 = 0 \quad\Rightarrow\quad -x^{2}+x+2=0.
Multiplicando por -1:
x^{2}-x-2=0.
Esta é uma quadrática fatorável:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0,
logo as interseções ocorrem em x=-1 e x=2. Portanto os limites -1 e 2 usados na integral proposta coincidem com os pontos de interseção.
Passo 3
Agora explico a ideia do método (como fazer na prova): a área entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) no intervalo [a,b] é dada por
Por que isso? Porque podemos pensar em fatias verticais de largura dx; em cada x a altura da fatia é a diferença entre a função de cima e a de baixo, então a área da fatia é essa altura vezes dx; somando (integrando) de a até b obtemos a área total. É essencial que em todo o intervalo [a,b] a função escolhida como y_{\text{top}} seja de fato a maior (ou, se trocassemos os papéis, usar o módulo da diferença).
Passo 4
Precisamos identificar qual das duas é a função superior (top) para x\in[-1,2]. Um jeito rápido: avaliar ambas em um ponto interior, por exemplo em x=0:
y_1(0)=-0^{2}+4=4,\qquad y_2(0)=-0+2=2.
Como 4>2, a parábola y=-x^{2}+4 está acima da reta y=-x+2 em x=0. Essas curvas se cruzam somente em -1 e 2, e não há troca de ordem entre esses pontos (pode-se também verificar que a diferença y_1-y_2 é uma função contínua que só zera em -1 e 2), logo em todo o intervalo [-1,2] temos
Portanto o integrando correto é (-x^{2}+4)-(-x+2), exatamente o que aparece na integral proposta.
Passo 5
Simplificando o integrando para ver claramente:
(-x^{2}+4)-(-x+2) = -x^{2}+4 + x -2 = -x^{2}+x+2.
Então a integral proposta é
\int_{-1}^{2}\bigl(-x^{2}+x+2\bigr)\,dx,
que é precisamente a integral de y_{\text{top}}-y_{\text{bot}} entre os pontos de interseção. Assim a forma da integral e os limites coincidem com a fórmula padrão para área entre curvas.
Passo 6
Para completar a explicação, calculo a integral e obtenho o valor da área (útil para conferir na prova):
Primeiro a primitiva:
\int\bigl(-x^{2}+x+2\bigr)\,dx = -\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2x + C.
Logo o valor da área entre as curvas é \dfrac{9}{2}.
Passo 7
Resumo do raciocínio (como usar na prova): 1) encontrar interseções resolvendo -x^{2}+4=-x+2 para obter os limites de integração; 2) determinar qual curva está por cima no intervalo (avaliar em um ponto ou analisar a diferença); 3) montar a integral \int_{x_{\text{esq}}}^{x_{\text{dir}}}(y_{\text{top}}-y_{\text{bot}})\,dx; 4) calcular a integral para obter a área. No caso dado, a integral proposta tem os limites corretos, o integrando corresponde a y_{\text{top}}-y_{\text{bot}} e produz a área \dfrac{9}{2}.