Sejam z_{1}, \cdots, z_{n} números complexos. Mostre que
\overline{z_{1}}=z_{1} \Leftrightarrow z_{1} \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência
\overline{z_{1}}=z_{1} \Leftrightarrow z_{1} \in \mathbb{R}.
Informações dadas:
  • z_{1} é um número complexo (não nos deram nada mais específico).
  • Temos que provar as duas implicações: (1) se \overline{z_{1}}=z_{1} então z_{1}\in\mathbb{R}; (2) se z_{1}\in\mathbb{R} então \overline{z_{1}}=z_{1}.

Passo 2

Vamos lembrar a forma padrão de um número complexo e a definição de conjugado (aulas rápidas, tipo “cola” para a prova).
  • Qualquer número complexo pode ser escrito como \displaystyle z=a+bi, onde \displaystyle a,b\in\mathbb{R}. Aqui:
    • \displaystyle a é a parte real de z, denotada \Re(z)=a.
    • \displaystyle b é a parte imaginária de z, denotada \Im(z)=b.
  • O conjugado de z é definido por \displaystyle \overline{z}=a-bi.
    Essas são definições básicas; se na prova você ver z escreva assim e calcule \overline{z} trocando o sinal da parte imaginária.

Passo 3

Uma propriedade importante sobre igualdade de números complexos:
  • Se \displaystyle a+bi = c+di com a,b,c,d\in\mathbb{R}, então necessariamente a=c e b=d. Ou seja, partes reais iguais e partes imaginárias iguais.
    Isto decorre de subtrair os dois lados e usar que 1 e i são linearmente independentes sobre \mathbb{R}. Na prática, em prova: iguale real com real e imaginário com imaginário.

Passo 4

Prova da primeira implicação: \displaystyle \overline{z_{1}}=z_{1}\Rightarrow z_{1}\in\mathbb{R}.
  • Escreva \displaystyle z_{1}=a+bi com a,b\in\mathbb{R}. Então \displaystyle \overline{z_{1}}=a-bi.
  • A hipótese é \displaystyle a-bi = a+bi.
  • Usando a propriedade do passo anterior, igualando as partes imaginárias obtemos -b = b.
  • Isso implica \displaystyle 2b=0, logo \displaystyle b=0.
  • Se \displaystyle b=0, então \displaystyle z_{1}=a+0\cdot i = a, que é um número real. Portanto \displaystyle z_{1}\in\mathbb{R}.
    Comentário amigável: ou seja, se um número complexo é igual ao seu conjugado, sua parte imaginária tem que “se anular” — fica só a parte real.

Passo 5

Prova da segunda implicação: \displaystyle z_{1}\in\mathbb{R}\Rightarrow \overline{z_{1}}=z_{1}.
  • Se \displaystyle z_{1}\in\mathbb{R}, então podemos escrever \displaystyle z_{1}=a com a\in\mathbb{R}. Em termos de forma a+bi, isso corresponde a b=0, ou seja \displaystyle z_{1}=a+0\cdot i.
  • O conjugado de z_{1} é \displaystyle \overline{z_{1}}=a-0\cdot i = a.
  • Logo \displaystyle \overline{z_{1}}=a=z_{1}. Assim, todo número real é igual ao seu conjugado.

Passo 6

Conclusão e uma observação prática para a prova:
  • Juntando os dois lados, mostramos que \displaystyle \overline{z_{1}}=z_{1} se e somente se \displaystyle \Im(z_{1})=0, isto é, se e somente se \displaystyle z_{1}\in\mathbb{R}.
  • Dica rápida para a prova: quando vir \overline{z}=z, já pense “parte imaginária zero”. Inversamente, se souber que z é real, o conjugado não muda nada.

Resposta

\overline{z_{1}}=z_{1} \Leftrightarrow z_{1} \in \mathbb{R}

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