z_{1} é um número complexo (não nos deram nada mais específico).
Temos que provar as duas implicações: (1) se \overline{z_{1}}=z_{1} então z_{1}\in\mathbb{R}; (2) se z_{1}\in\mathbb{R} então \overline{z_{1}}=z_{1}.
Passo 2
Vamos lembrar a forma padrão de um número complexo e a definição de conjugado (aulas rápidas, tipo “cola” para a prova).
Qualquer número complexo pode ser escrito como \displaystyle z=a+bi, onde \displaystyle a,b\in\mathbb{R}. Aqui:
\displaystyle a é a parte real de z, denotada \Re(z)=a.
\displaystyle b é a parte imaginária de z, denotada \Im(z)=b.
O conjugado de z é definido por \displaystyle \overline{z}=a-bi.
Essas são definições básicas; se na prova você ver z escreva assim e calcule \overline{z} trocando o sinal da parte imaginária.
Passo 3
Uma propriedade importante sobre igualdade de números complexos:
Se \displaystyle a+bi = c+di com a,b,c,d\in\mathbb{R}, então necessariamente a=c e b=d. Ou seja, partes reais iguais e partes imaginárias iguais.
Isto decorre de subtrair os dois lados e usar que 1 e i são linearmente independentes sobre \mathbb{R}. Na prática, em prova: iguale real com real e imaginário com imaginário.
Passo 4
Prova da primeira implicação: \displaystyle \overline{z_{1}}=z_{1}\Rightarrow z_{1}\in\mathbb{R}.
Escreva \displaystyle z_{1}=a+bi com a,b\in\mathbb{R}. Então \displaystyle \overline{z_{1}}=a-bi.
A hipótese é \displaystyle a-bi = a+bi.
Usando a propriedade do passo anterior, igualando as partes imaginárias obtemos-b = b.
Isso implica \displaystyle 2b=0, logo \displaystyle b=0.
Se \displaystyle b=0, então \displaystyle z_{1}=a+0\cdot i = a, que é um número real. Portanto \displaystyle z_{1}\in\mathbb{R}.
Comentário amigável: ou seja, se um número complexo é igual ao seu conjugado, sua parte imaginária tem que “se anular” — fica só a parte real.
Passo 5
Prova da segunda implicação: \displaystyle z_{1}\in\mathbb{R}\Rightarrow \overline{z_{1}}=z_{1}.
Se \displaystyle z_{1}\in\mathbb{R}, então podemos escrever \displaystyle z_{1}=a com a\in\mathbb{R}. Em termos de forma a+bi, isso corresponde a b=0, ou seja \displaystyle z_{1}=a+0\cdot i.
O conjugado de z_{1} é \displaystyle \overline{z_{1}}=a-0\cdot i = a.
Logo \displaystyle \overline{z_{1}}=a=z_{1}. Assim, todo número real é igual ao seu conjugado.
Passo 6
Conclusão e uma observação prática para a prova:
Juntando os dois lados, mostramos que \displaystyle \overline{z_{1}}=z_{1} se e somente se \displaystyle \Im(z_{1})=0, isto é, se e somente se \displaystyle z_{1}\in\mathbb{R}.
Dica rápida para a prova: quando vir \overline{z}=z, já pense “parte imaginária zero”. Inversamente, se souber que z é real, o conjugado não muda nada.