Sejam z_{1}, \cdots, z_{n} números complexos. Mostre que
\overline{z_{1} \cdot \ldots \cdot z_{n}}=\overline{z_{1}} \cdot \ldots \cdot \overline{z_{n}}

Passo 1

O enunciado dá n números complexos z_{1},\ldots,z_{n} e pede para mostrar que a conjugação do produto deles é o produto das conjugações, isto é provar a igualdade
\overline{z_{1}\cdot\ldots\cdot z_{n}}=\overline{z_{1}}\cdot\ldots\cdot\overline{z_{n}}.
Informações relevantes dadas: temos apenas que z_{1},\ldots,z_{n} são números complexos (nenhuma outra hipótese extra).

Passo 2

Vou lembrar o que é conjugado de um número complexo e explicar uma propriedade simples que usarei. Se z é um número complexo escrito na forma cartesiana
z=a+bi,
onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1), então o conjugado de z é definido por
\overline{z}=a-bi.
Interpretando: o conjugado muda o sinal da parte imaginária e deixa a parte real igual. Isso é a definição que vamos usar explicitamente nas contas.

Passo 3

Primeiro é útil provar o caso de dois números complexos: mostro que para quaisquer z_{1} e z_{2} vale
\overline{z_{1}z_{2}}=\overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}}.
Escrevo z_{1} e z_{2} em termos das partes reais e imaginárias:
z_{1}=a+bi,\qquad z_{2}=c+di,
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. Calculo o produto z_{1}z_{2}:
z_{1}z_{2}=(a+bi)(c+di)=ac-bd + i(ad+bc).
Agora tomo o conjugado desse produto usando a definição:
\overline{z_{1}z_{2}}=ac-bd - i(ad+bc).
Por outro lado, calculo os conjugados individuais e o produto deles:
\overline{z_{1}}=a-bi,\qquad \overline{z_{2}}=c-di,
\overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}}=(a-bi)(c-di)=ac-bd - i(ad+bc).
Como as expressões para \overline{z_{1}z_{2}} e para \overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}} coincidem, concluo que a propriedade vale para dois fatores:
\overline{z_{1}z_{2}}=\overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}}.

Passo 4

Agora uso o princípio da indução matemática para passar do caso de dois fatores para n fatores. Vou explicar rapidinho o que é indução: para provar uma afirmação para todo inteiro n\ge 1 tipicamente mostramos (i) caso base: a afirmação vale para n=1 e (ii) passo indutivo: se vale para algum k, então vale para k+1. Esses dois passos garantem que vale para todo n.

Passo 5

Caso base: para n=1 a afirmação é trivial, porque
\overline{z_{1}}=\overline{z_{1}}.
Então o caso base está OK.

Passo 6

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge 1 já sabemos que
\overline{z_{1}\cdot\ldots\cdot z_{k}}=\overline{z_{1}}\cdot\ldots\cdot\overline{z_{k}}.
Queremos mostrar que então
\overline{z_{1}\cdot\ldots\cdot z_{k}\cdot z_{k+1}}=\overline{z_{1}}\cdot\ldots\cdot\overline{z_{k}}\cdot\overline{z_{k+1}}.
Observe que podemos agrupar o produto dos k+1 fatores como (z_{1}\cdot\ldots\cdot z_{k})\cdot z_{k+1}. Aplicando a propriedade já provada para dois fatores (Passo 3) ao par \left(\prod_{j=1}^{k} z_{j}\,,\, z_{k+1}\right), obtemos
\overline{\bigg(\prod_{j=1}^{k} z_{j}\bigg)\, z_{k+1}} =\overline{\bigg(\prod_{j=1}^{k} z_{j}\bigg)}\;\overline{z_{k+1}}.
Pela hipótese indutiva substituímos \overline{\prod_{j=1}^{k} z_{j}} por \prod_{j=1}^{k}\overline{z_{j}}, obtendo
\overline{\bigg(\prod_{j=1}^{k} z_{j}\bigg)\, z_{k+1}} =\bigg(\prod_{j=1}^{k}\overline{z_{j}}\bigg)\;\overline{z_{k+1}} =\prod_{j=1}^{k+1}\overline{z_{j}}.
Isso fecha o passo indutivo: a propriedade vale para k+1.

Passo 7

Pelo princípio da indução, como mostramos o caso base e o passo indutivo, a igualdade
\overline{z_{1}\cdot\ldots\cdot z_{n}}=\overline{z_{1}}\cdot\ldots\cdot\overline{z_{n}}
vale para todo inteiro n\ge 1. Se quiser, um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: com z_{1}=1+2i e z_{2}=3+i calculamos ambos os lados e verificamos que coincidem (isso é exatamente o que fizemos simbolicamente no Passo 3).

Resposta

\overline{z_{1}\cdot\ldots\cdot z_{n}}=\overline{z_{1}}\cdot\ldots\cdot\overline{z_{n}}

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