O enunciado dá n números complexos z_{1},\ldots,z_{n} e pede para mostrar que a conjugação do produto deles é o produto das conjugações, isto é provar a igualdade
Informações relevantes dadas: temos apenas que z_{1},\ldots,z_{n} são números complexos (nenhuma outra hipótese extra).
Passo 2
Vou lembrar o que é conjugado de um número complexo e explicar uma propriedade simples que usarei. Se z é um número complexo escrito na forma cartesiana
z=a+bi,
onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária (i^{2}=-1), então o conjugado de z é definido por
\overline{z}=a-bi.
Interpretando: o conjugado muda o sinal da parte imaginária e deixa a parte real igual. Isso é a definição que vamos usar explicitamente nas contas.
Passo 3
Primeiro é útil provar o caso de dois números complexos: mostro que para quaisquer z_{1} e z_{2} vale
Agora uso o princípio da indução matemática para passar do caso de dois fatores para n fatores. Vou explicar rapidinho o que é indução: para provar uma afirmação para todo inteiro n\ge 1 tipicamente mostramos (i) caso base: a afirmação vale para n=1 e (ii) passo indutivo: se vale para algum k, então vale para k+1. Esses dois passos garantem que vale para todo n.
Passo 5
Caso base: para n=1 a afirmação é trivial, porque
\overline{z_{1}}=\overline{z_{1}}.
Então o caso base está OK.
Passo 6
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge 1 já sabemos que
Observe que podemos agrupar o produto dos k+1 fatores como (z_{1}\cdot\ldots\cdot z_{k})\cdot z_{k+1}. Aplicando a propriedade já provada para dois fatores (Passo 3) ao par \left(\prod_{j=1}^{k} z_{j}\,,\, z_{k+1}\right), obtemos
vale para todo inteiro n\ge 1. Se quiser, um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: com z_{1}=1+2i e z_{2}=3+i calculamos ambos os lados e verificamos que coincidem (isso é exatamente o que fizemos simbolicamente no Passo 3).