Sejam z_{1}, \cdots, z_{n} números complexos. Mostre que \overline{\overline{z_{1}}}=z_{1}.
Passo 1
O enunciado dá que z_{1},\dots,z_{n} são números complexos e pede para mostrar uma igualdade envolvendo conjugados: provar que \overline{\overline{z_{1}}}=z_{1}. Informações relevantes: temos pelo menos um número complexo z_{1}; não são fornecidos valores numéricos, apenas a propriedade a demonstrar.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um número complexo e como o escrevemos: qualquer número complexo z pode ser escrito na forma
z = x + i y,
onde x e y são números reais, x=\operatorname{Re}(z) é a parte real e y=\operatorname{Im}(z) é a parte imaginária, e i é a unidade imaginária com a propriedade i^{2}=-1.
Passo 3
Agora definimos o conjugado de um número complexo. O conjugado de z=x+iy é obtido trocando o sinal da parte imaginária. Em símbolos:
\overline{z} = x - i y.
Aqui \overline{z} tem a mesma parte real x e a parte imaginária com sinal invertido.
Passo 4
Aplique a definição de conjugado duas vezes. Começamos com z_{1} e escrevemo-lo em coordenadas reais:
z_{1} = a + i b,
onde a=\operatorname{Re}(z_{1}) e b=\operatorname{Im}(z_{1}), ambos reais.
Passo 5
Calcule o conjugado de z_{1} usando a fórmula:
\overline{z_{1}} = a - i b.
Agora calcule o conjugado desse resultado (ou seja, o conjugado do conjugado):
\overline{\overline{z_{1}}} = \overline{\,a - i b\,}.
Pelo mesmo procedimento de trocar o sinal da parte imaginária, obtemos
\overline{\,a - i b\,} = a + i b.
Passo 6
Compare o resultado com a expressão inicial de z_{1}. Observamos que
\overline{\overline{z_{1}}} = a + i b = z_{1}.
Portanto, aplicar o conjugado duas vezes devolve o número original. Esse argumento vale para qualquer número complexo (não só para z_{1}), porque usamos apenas a forma x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para fixar: se z_{1}=3+4i, então \overline{z_{1}}=3-4i e \overline{\overline{z_{1}}}=3+4i=z_{1}. Isso ilustra concretamente o que acabamos de provar.