Semanas XII, XIII, XIV e XV (aulas dos dias 29/05, 30/05, 06/05, 12/05, 13/05, 19/05 e 20/05): - Encontre a solução dos seguintes problemas:
u_{t}=u_{x x} em (0, \pi) \times(0, \infty);\n u(x, 0)=-\cos x, \quad 0 \leq x \leq \pi ; u_{x}(0, t)=u_{x}(\pi, t)=0 \quad t \in[0, \infty) ;

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor
u_{t}=u_{xx}
em (0,\pi)\times(0,\infty) com condição inicial
u(x,0)=-\cos x,\quad 0\le x\le\pi
e condições de contorno de Neumann
u_{x}(0,t)=u_{x}(\pi,t)=0,\quad t\ge0.
Vamos usar o método de separação de variáveis ou, equivalentemente, expansão em autofunções do problema de Neumann.

Passo 2

Consideramos o problema de autovalores
\varphi''(x)+\lambda\,\varphi(x)=0,\quad 0<x<\pi,\quad \varphi'(0)=\varphi'(\pi)=0.
As soluções não-triviais são
\lambda_n = n^2,\qquad \phi_n(x)=\cos(nx),\quad n=0,1,2,\dots
com \phi_0(x)=1. A solução geral do calor é
u(x,t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,e^{-n^2t}\cos(nx),
onde os coeficientes a_n vêm da expansão da condição inicial.

Passo 3

Expansão de -\cos x em séries de cossenos:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(-\cos x)\,dx =-\frac{1}{\pi}\bigl[\sin x\bigr]_0^\pi=0.
Para n\ge1,
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(-\cos x)\cos(nx)\,dx =-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos x\cos(nx)\,dx.
Essa integral anula-se para todo n\ne1, e para n=1
\int_{0}^{\pi}\cos^2x\,dx=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad a_1=-\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=-1.

Passo 4

Como só a_1 é não nulo, a série reduz-se a um único termo:
u(x,t)=a_1\,e^{-1^2t}\cos(x)=-e^{-t}\cos(x).

Resposta

u(x,t)=-e^{-t}\cos(x).

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