Desenvolva a Série de Maclaurin para as funções abaixo; exponha um polinômio de 3^{\underline{o}} grau
f(x)=\frac{x+1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede a Série de Maclaurin de
f(x)=\frac{x+1}{x+2}
e, em particular, o polinômio de 3º grau P_{3}(x). Aqui vamos usar a ideia de escrever f(x) como produto de algo que gera uma série geométrica e depois truncar em x^{3}.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac{x+1}{x+2} =\frac{1+x}{2+x} =\frac{1}{2}\,(1+x)\,\frac{1}{1+\tfrac{x}{2}}.
Assim isolamos a parte \tfrac{1}{1+u} com u=\tfrac{x}{2}, para usar a expansão geométrica.

Passo 3

Lembrando que, para |u|<1,
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n},
temos, até x^{3},
\frac{1}{1+\tfrac{x}{2}} =\sum_{n=0}^{3}(-1)^{n}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n} =1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{3}}{8}+\cdots.

Passo 4

Multiplicamos (1+x) pela série truncada e agrupamos termos até x^{3}:
(1+x)\Bigl(1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^{2}}{4}-\tfrac{x^{3}}{8}\Bigr) =1+\Bigl(-\tfrac12+1\Bigr)x +\Bigl(\tfrac14-\tfrac12\Bigr)x^{2} +\Bigl(-\tfrac18+\tfrac14\Bigr)x^{3}+\cdots
isto é
1+\frac12\,x-\frac14\,x^{2}+\frac18\,x^{3}+\cdots.

Passo 5

Por fim multiplicamos tudo por \tfrac12:
P_{3}(x) =\frac12\Bigl(1+\frac12x-\frac14x^{2}+\frac18x^{3}\Bigr) =\frac12+\frac14x-\frac18x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}.

Resposta

P_{3}(x)=\frac12+\frac14x-\frac18x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}.

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