Considere o problema:
a) Supondo que
é da forma
descreva a família de equações de ordinárias que devemos resolver para obtermos uma solução da equação diferencial.
b) Suponha agora que o função
é de classe
e depende somente de
. Explique de forma podemos escrever
como uma série
e descreva os valores
, para todo
natural.
c) Usando a série acima, descreva a família de equações diferenciais ordinárias obtidas na letra a) para o caso em que
depende somente de
.
d) Obtenha uma solução formal, sem se preocupar com a convergência, para o problema
b) Suponha agora que o função
c) Usando a série acima, descreva a família de equações diferenciais ordinárias obtidas na letra a) para o caso em que
d) Obtenha uma solução formal, sem se preocupar com a convergência, para o problema
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor com fonte
sujeita a
O método é expandir
em autovetores de Dirichlet no intervalo
:
Precisaremos projetar a PDE nesses modos para obter uma família de EDOs em
.
Passo 2
Substituindo
na PDE e usando a ortogonalidade das senos, multiplicamos ambos os lados por e integramos de
a
. Isso dá
na PDE e usando a ortogonalidade das senos, multiplicamos ambos os lados por
Pelo cálculo de derivadas de séries e integração por partes, obtém-se a EDO
onde
Passo 3
Se
é
e depende só de
, podemos expandi-la em série de senos:
com coeficientes dados por
graças à ortogonalidade de
em
.
Passo 4
No caso
, o termo
da EDO do passo 2 perde o
e fica constante em
:
Passo 5
A EDO é linear de primeira ordem com coeficiente constante. Definindo
e
com
a solução geral é
a solução geral é
Assim, a solução formal do problema é
Resposta
com