Considere o problema:
\begin{aligned} & u_{t}=K u_{x x}+g(x, t) \text { em }(0, L) \times(0, \infty) ; \\\ & u(x, 0)=f(x), \quad 0 \leq x \leq L ; \\\ & u(0, t)=u(L, t)=0, \quad t \in[0, \infty) \end{aligned}
a) Supondo que u é da forma
u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right),
descreva a família de equações de ordinárias que devemos resolver para obtermos uma solução da equação diferencial.
b) Suponha agora que o função g é de classe C^{1} e depende somente de x. Explique de forma podemos escrever g como uma série
\sum_{n=1}^{\infty} g_{n} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)
e descreva os valores g_{n}, para todo n natural.
c) Usando a série acima, descreva a família de equações diferenciais ordinárias obtidas na letra a) para o caso em que g depende somente de x.
d) Obtenha uma solução formal, sem se preocupar com a convergência, para o problema
\begin{aligned} & u_{t}=K u_{x x}+g(x) \mathrm{em}\\\ & u(x, 0)=f(x), \quad 0 \leq x \leq L ; \\\ & u(0, t)=u(L, t)=0, \quad t \in[0, \infty) . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor com fonte
u_{t} = K\,u_{xx} + g(x,t),\quad x\in(0,L),\;t>0,
sujeita a
u(x,0)=f(x),\quad u(0,t)=u(L,t)=0.
O método é expandir u em autovetores de Dirichlet no intervalo [0,L]:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(t)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).
Precisaremos projetar a PDE nesses modos para obter uma família de EDOs em c_{n}(t).

Passo 2

Substituindo
\displaystyle u(x,t)=\sum_{n}c_{n}(t)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)
na PDE e usando a ortogonalidade das senos, multiplicamos ambos os lados por \sin\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr) e integramos de 0 a L. Isso dá
\int_{0}^{L}u_{t}\,\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\,dx =K\int_{0}^{L}u_{xx}\,\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\,dx +\int_{0}^{L}g(x,t)\,\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Pelo cálculo de derivadas de séries e integração por partes, obtém-se a EDO
c_{m}'(t) + K\Bigl(\tfrac{m\pi}{L}\Bigr)^{2}c_{m}(t) = g_{m}(t),
onde
g_{m}(t)=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}g(x,t)\,\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 3

Se g é C^{1} e depende só de x, podemos expandi-la em série de senos:
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}g_{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
com coeficientes dados por
g_{n} =\frac{2}{L}\int_{0}^{L}g(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx,
graças à ortogonalidade de \{\sin(n\pi x/L)\}_{n\ge1} em [0,L].

Passo 4

No caso g=g(x), o termo g_{m}(t) da EDO do passo 2 perde o t e fica constante em t:
c_{m}'(t) + K\Bigl(\tfrac{m\pi}{L}\Bigr)^{2}c_{m}(t) = g_{m}.

Passo 5

A EDO é linear de primeira ordem com coeficiente constante. Definindo
\lambda_{m}=K\bigl(\tfrac{m\pi}{L}\bigr)^{2} e
c_{m}(0)=f_{m} com
\displaystyle f_{m}=\tfrac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\,dx,
a solução geral é
c_{m}(t) =e^{-\lambda_{m}t}\,f_{m} +\frac{g_{m}}{\lambda_{m}}\Bigl(1-e^{-\lambda_{m}t}\Bigr).
Assim, a solução formal do problema é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[e^{-\lambda_{n}t}f_{n} +\tfrac{g_{n}}{\lambda_{n}}\bigl(1-e^{-\lambda_{n}t}\bigr)\Bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[e^{-K(\tfrac{n\pi}{L})^{2}t}\,f_{n} +\tfrac{g_{n}}{K(\tfrac{n\pi}{L})^{2}} \bigl(1-e^{-K(\tfrac{n\pi}{L})^{2}t}\bigr)\Bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
com
f_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx, \quad g_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}g(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.

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