(Semelhança Dinâmica e Escoamento Externo) - O arrasto de um transdutor sonar deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento (viscosidade cinemática do ar =1,5 \times 10^{-5} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} ). O protótipo, uma esfera de 0,5 \mathrm{~m} de diâmetro, deve ser rebocado a 2,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na água do mar (viscosidade cinemática da água do mar =1,0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ). O modelo tem 150 mm de diâmetro. Obtenha as expressões adimensionais utilizando o Teorema de pi de Buckingham. (a) Determine a velocidade de teste requerida no ar; (b) Se a força de arrasto sobre modelo em teste for 2,8 \mathrm{~N}, estime a força de arrasto do protótipo; (c) Considerando que ao rebocar a esfera o número de Reynolds permaneça bem baixo ( \operatorname{Re}<1,0 ) as forças de inércia podem ser desprezadas. De acordo com a teoria de Stokes, calcule a força de arrasto sobre o protótipo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
  • Dados do enunciado:
    • Viscosidade cinemática do ar: \nu_{\text{ar}} = 1,5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
    • Viscosidade cinemática da água do mar: \nu_{\text{água}} = 1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}á.
    • Protótipo (esfera): diâmetro L_{p}=0,50\\ \mathrm{m} e velocidade de reboque na água V_{p}=2,8\\ \mathrm{m/s}.
    • Modelo (esfera): diâmetro L_{m}=0,150\\ \mathrm{m}.
    • Força de arrasto medida no modelo durante ensaio em ar: D_{m}=2,8\\ \mathrm{N} (essa é a força medida no modelo, no ensaio em ar).
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar a velocidade de teste requerida no túnel de vento (ou ensaio em ar) para garantir semelhança dinâmica entre modelo e protótipo.
    (b) Se o arrasto medido no modelo for 2,8\\ \mathrm{N}, estimar o arrasto do protótipo.
    (c) Supondo que o escoamento esteja em regime de baixíssimo número de Reynolds ( \operatorname{Re}<1), usar a teoria de Stokes para calcular a força de arrasto sobre o protótipo (ou seja, aplicar a fórmula de Stokes).
  • Observação prática (necessária para calcular forças): o enunciado não deu as densidades do ar e da água. Vou assumir valores típicos padrão:
    • Densidade do ar: \rho_{\text{ar}}=1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Densidade da água do mar: \rho_{\text{água}}=1025\\ \mathrm{kg/m^{3}}á.
      Vou indicar explicitamente essas suposições quando as usar.
A partir daqui vamos obter as expressões adimensionais (Teorema de Buckingham), justificar que a semelhança exige igualdade do número de Reynolds, calcular V_{m} (parte a), usar a relação de arrasto para escalar D (parte b) e finalmente aplicar a lei de Stokes (parte c).

Passo 2

Aplicando o Teorema de Buckingham para encontrar as grandezas adimensionais relevantes.
  • Escolha das variáveis físicas que influenciam a força de arrasto D de uma esfera em escoamento uniforme (ignora-se gravidade etc.):
    D,\\ \rho,\\ \mu,\\ V,\\ L
    onde \rho = densidade do fluido, \mu = viscosidade dinâmica do fluido, V = velocidade relativa fluido-corpo e L = comprimento característico (aqui o diâmetro da esfera). (Também poderia usar \nu=\mu/\rho em vez de \mu.)
  • Contagem: número de variáveis n=5. Unidades fundamentais (massa, comprimento, tempo) k=3. Número de \pi-grupos: n-k=2. Ou seja, duas grandezas adimensionais descrevem o problema.
  • Escolhendo as variáveis repetidas \rho,\\ V,\\ L (têm todas dimensões independentes), componho dois \pi-grupos:
    1. Para o arrasto. Procuro \pi_1 = D\,\rho^{a} V^{b} L^{c}. Quero que \pi_1 seja adimensional. Dimensões: [D]=\mathrm{M L T^{-2}}, [\rho]=\mathrm{M L^{-3}}, [V]=\mathrm{L T^{-1}}, [L]=\mathrm{L}. Montando e igualando expoentes (ou usando conhecimento prático) obtemos o coeficiente de arrasto adimensional:
    \pi_1 = \frac{D}{\rho V^{2} L^{2}} \equiv C_{D}.
    Explicando: C_{D} é o coeficiente de arrasto — é a razão entre a força de arrasto real e a força dinâmica de referência \rho V^{2} L^{2} (essa referência tem dimensão de força).
    1. Para a viscosidade, formamos o Reynolds:
    \pi_2 = \frac{\rho V L}{\mu} \equiv \operatorname{Re}.
    Se preferir com viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho,
    \operatorname{Re}=\frac{V L}{\nu}.
  • Conclusão do Buckingham: a relação física pode ser escrita na forma
    C_{D} = f(\operatorname{Re}),
    isto é, para geometria fixa (esfera), o coeficiente de arrasto depende apenas do número de Reynolds. Portanto, para semelhança dinâmica (mesmo C_{D}) basta igualar o número de Reynolds entre modelo e protótipo.

Passo 3

Parte (a): determinar a velocidade de teste no ar V_{m} impondo semelhança dinâmica por igualdade de Reynolds.
  • Igualando \operatorname{Re} do modelo (em ar) e do protótipo (na água):
    \operatorname{Re}_{m}=\operatorname{Re}_{p} \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_{m}\,L_{m}}{\nu_{\text{ar}}}=\frac{V_{p}\,L_{p}}{\nu_{\text{água}}}.á
    Resolvo para V_{m}:
    V_{m}=V_{p}\,\frac{L_{p}}{L_{m}}\,\frac{\nu_{\text{ar}}}{\nu_{\text{água}}}.á
  • Substituindo os números:
    V_{m}=2{,}8\cdot\frac{0{,}50}{0{,}150}\cdot\frac{1{,}5\times10^{-5}}{1{,}0\times10^{-6}}.
    Calcule passo a passo:
    \frac{0{,}50}{0{,}150}=3{,}333\ldots,\qquad \frac{1{,}5\times10^{-5}}{1{,}0\times10^{-6}}=15.
    Logo
    V_{m}=2{,}8\cdot3{,}333\ldots\cdot15=2{,}8\cdot50=140\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: para que o modelo de 150\\ \mathrm{mm} em ar esteja no mesmo número de Reynolds do protótipo de 0{,}5\\ \mathrm{m} na água a 2{,}8\\ \mathrm{m/s}, o ensaio em ar precisaria ser muito rápido: V_{m}=140\\ \mathrm{m/s}. (Isso é uma velocidade bem alta — é comum em estudos que, às vezes, não é prático conseguir esse V_{m}.)

Passo 4

Parte (b): escalamento da força de arrasto quando a semelhança dinâmica é satisfeita.
  • Como C_{D} é a mesma para modelo e protótipo (mesmo \operatorname{Re} e mesma geometria),
    C_{D}=\frac{D_{m}}{\rho_{\text{ar}} V_{m}^{2} L_{m}^{2}}=\frac{D_{p}}{\rho_{\text{água}} V_{p}^{2} L_{p}^{2}}.á
    Isolando D_{p}:
    D_{p}=D_{m}\,\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{ar}}}\,\frac{V_{p}^{2}}{V_{m}^{2}}\,\frac{L_{p}^{2}}{L_{m}^{2}}.á
    Essa é a expressão prática de escala: arrasto escala como \rho V^{2} L^{2} para corpos geometricamente semelhantes no mesmo C_{D}.
  • Agora substituo valores (usando as densidades assumidas):
    \rho_{\text{água}}=1025\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \rho_{\text{ar}}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.á
    Primeiro calcule fatores:
    \frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{ar}}}=\frac{1025}{1{,}2}\approx854{,}1667,á
\frac{V_{p}^{2}}{V_{m}^{2}}=\left(\frac{2{,}8}{140}\right)^{2}=\left(0{,}02\right)^{2}=4{,}0\times10^{-4},
\frac{L_{p}^{2}}{L_{m}^{2}}=\left(\frac{0{,}50}{0{,}150}\right)^{2}=(3{,}333\ldots)^{2}=11{,}111\ldots
Multiplicando os fatores:
\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{ar}}}\cdot\frac{V_{p}^{2}}{V_{m}^{2}}\cdot\frac{L_{p}^{2}}{L_{m}^{2}} \approx 854{,}1667\cdot4{,}0\times10^{-4}\cdot11{,}111\ldotsá
Calcule em etapas: 4{,}0\times10^{-4}\cdot11{,}111\ldots =4{,}4444\times10^{-3}. Multiplicando por 854{,}1667 dá aproximadamente 3{,}7963.
Finalmente:
D_{p}=2{,}8\cdot3{,}7963\approx10{,}63\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação: com os dados e suposições, se o modelo em ar registrar 2{,}8\\ \mathrm{N} de arrasto na condição de semelhança dinâmica, o arrasto estimado do protótipo na água seria cerca de 10{,}63\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Parte (c): arrasto segundo a teoria de Stokes para escoamento de muito baixo Reynolds.
  • A teoria de Stokes (regime viscoso dominando, \operatorname{Re}\ll1) para uma esfera de raio a (diâmetro L=2a) dá:
    D_{\text{Stokes}}=6\pi\mu a\,V = 3\pi\mu L\,V.
    Aqui \mu é a viscosidade dinâmica do fluido. Como foi dado \nu (viscosidade cinemática), usamos \mu=\rho\,\nu.
  • Primeiro, mostrar que na realidade o protótipo não está em \operatorname{Re}<1, para termos noção (isso não contraria a pedido: o enunciado pede “considerando que… \operatorname{Re}<1 calcule”, mas é útil ver o caso real):
    \operatorname{Re}_{p,\text{real}}=\frac{V_{p}L_{p}}{\nu_{\text{água}}}=\frac{2{,}8\cdot0{,}50}{1{,}0\times10^{-6}}=1{,}4\times10^{6},á
    ou seja, o protótipo real tem \operatorname{Re} enorme (não é regime de Stokes). Portanto a hipótese \operatorname{Re}<1 é apenas um caso hipotético.
  • Ainda assim, aplicando a fórmula de Stokes sob a hipótese \operatorname{Re}\ll1:
    \mu_{\text{água}}=\rho_{\text{água}}\,\nu_{\text{água}}=1025\cdot1{,}0\times10^{-6}=1{,}025\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.ááá
    Usando L_{p}=0{,}50\\ \mathrm{m} e V_{p}=2{,}8\\ \mathrm{m/s},
    D_{\text{Stokes}}=3\pi\mu_{\text{água}} L_{p} V_{p}.á
    Substituindo:
    D_{\text{Stokes}}=3\pi\cdot(1{,}025\times10^{-3})\cdot0{,}50\cdot2{,}8.
    Calcule passo a passo:
    3\pi\approx9{,}42477796,\qquad 9{,}42478\cdot1{,}025\times10^{-3}\approx9{,}6604\times10^{-3},
9{,}6604\times10^{-3}\cdot0{,}50=4{,}8302\times10^{-3}, \qquad 4{,}8302\times10^{-3}\cdot2{,}8\approx1{,}3525\times10^{-2}\\ \mathrm{N}.
Assim,
D_{\text{Stokes}}\approx0{,}0135\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação final: no regime de Stokes (hipotético \operatorname{Re}\ll1) a força de arrasto seria minúscula, cerca de 0{,}0135\\ \mathrm{N}. Na prática, porém, o protótipo a 2{,}8\\ \mathrm{m/s} na água está em \operatorname{Re}\sim10^{6}, portanto a fórmula de Stokes não vale para o caso real — o arrasto real (estimado pela semelhança no passo anterior) é muito maior ( \sim10{,}6\\ \mathrm{N}).

Resposta

(a) V_{m}=140\\ \mathrm{m/s}
(b) D_{p}\approx10{,}63\\ \mathrm{N}
(c) D_{\text{Stokes}}\approx0{,}0135\\ \mathrm{N}

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