(Semelhança Dinâmica e Escoamento Externo) - O arrasto de um transdutor sonar deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento (viscosidade cinemática do ar
). O protótipo, uma esfera de
de diâmetro, deve ser rebocado a
na água do mar (viscosidade cinemática da água do mar
). O modelo tem 150 mm de diâmetro. Obtenha as expressões adimensionais utilizando o Teorema de pi de Buckingham. (a) Determine a velocidade de teste requerida no ar; (b) Se a força de arrasto sobre modelo em teste for
, estime a força de arrasto do protótipo; (c) Considerando que ao rebocar a esfera o número de Reynolds permaneça bem baixo (
) as forças de inércia podem ser desprezadas. De acordo com a teoria de Stokes, calcule a força de arrasto sobre o protótipo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
-
Dados do enunciado:
- Viscosidade cinemática do ar:
. - Viscosidade cinemática da água do mar:
. - Protótipo (esfera): diâmetro
e velocidade de reboque na água . - Modelo (esfera): diâmetro
. - Força de arrasto medida no modelo durante ensaio em ar:
(essa é a força medida no modelo, no ensaio em ar).
- Viscosidade cinemática do ar:
-
O enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade de teste requerida no túnel de vento (ou ensaio em ar) para garantir semelhança dinâmica entre modelo e protótipo.
(b) Se o arrasto medido no modelo for, estimar o arrasto do protótipo.
(c) Supondo que o escoamento esteja em regime de baixíssimo número de Reynolds (), usar a teoria de Stokes para calcular a força de arrasto sobre o protótipo (ou seja, aplicar a fórmula de Stokes). -
Observação prática (necessária para calcular forças): o enunciado não deu as densidades do ar e da água. Vou assumir valores típicos padrão:
- Densidade do ar:
. - Densidade da água do mar:
.
Vou indicar explicitamente essas suposições quando as usar.
- Densidade do ar:
A partir daqui vamos obter as expressões adimensionais (Teorema de Buckingham), justificar que a semelhança exige igualdade do número de Reynolds, calcular
(parte a), usar a relação de arrasto para escalar
(parte b) e finalmente aplicar a lei de Stokes (parte c).
Passo 2
Aplicando o Teorema de Buckingham para encontrar as grandezas adimensionais relevantes.
-
Escolha das variáveis físicas que influenciam a força de arrasto
de uma esfera em escoamento uniforme (ignora-se gravidade etc.): onde= densidade do fluido, = viscosidade dinâmica do fluido, = velocidade relativa fluido-corpo e = comprimento característico (aqui o diâmetro da esfera). (Também poderia usar em vez de .) -
Contagem: número de variáveis
. Unidades fundamentais (massa, comprimento, tempo) . Número de -grupos: . Ou seja, duas grandezas adimensionais descrevem o problema. -
Escolhendo as variáveis repetidas
(têm todas dimensões independentes), componho dois -grupos: - Para o arrasto. Procuro
. Quero que seja adimensional. Dimensões: , , , . Montando e igualando expoentes (ou usando conhecimento prático) obtemos o coeficiente de arrasto adimensional:
Explicando:é o coeficiente de arrasto — é a razão entre a força de arrasto real e a força dinâmica de referência (essa referência tem dimensão de força). - Para a viscosidade, formamos o Reynolds:
Se preferir com viscosidade cinemática, - Para o arrasto. Procuro
-
Conclusão do Buckingham: a relação física pode ser escrita na formaisto é, para geometria fixa (esfera), o coeficiente de arrasto depende apenas do número de Reynolds. Portanto, para semelhança dinâmica (mesmo
) basta igualar o número de Reynolds entre modelo e protótipo.
Passo 3
Parte (a): determinar a velocidade de teste no ar
impondo semelhança dinâmica por igualdade de Reynolds.
-
Igualando
do modelo (em ar) e do protótipo (na água): Resolvo para: -
Substituindo os números:Calcule passo a passo:Logo
-
Interpretação: para que o modelo de
em ar esteja no mesmo número de Reynolds do protótipo de na água a , o ensaio em ar precisaria ser muito rápido: . (Isso é uma velocidade bem alta — é comum em estudos que, às vezes, não é prático conseguir esse .)
Passo 4
Parte (b): escalamento da força de arrasto quando a semelhança dinâmica é satisfeita.
-
Como
é a mesma para modelo e protótipo (mesmo e mesma geometria), Isolando: Essa é a expressão prática de escala: arrasto escala comopara corpos geometricamente semelhantes no mesmo . -
Agora substituo valores (usando as densidades assumidas):Primeiro calcule fatores:
Multiplicando os fatores:
Calcule em etapas:
. Multiplicando por
dá aproximadamente
.
Finalmente:
- Interpretação: com os dados e suposições, se o modelo em ar registrar
de arrasto na condição de semelhança dinâmica, o arrasto estimado do protótipo na água seria cerca de .
Passo 5
Parte (c): arrasto segundo a teoria de Stokes para escoamento de muito baixo Reynolds.
-
A teoria de Stokes (regime viscoso dominando,
) para uma esfera de raio (diâmetro ) dá: Aquié a viscosidade dinâmica do fluido. Como foi dado (viscosidade cinemática), usamos . -
Primeiro, mostrar que na realidade o protótipo não está em
, para termos noção (isso não contraria a pedido: o enunciado pede “considerando que… calcule”, mas é útil ver o caso real): ou seja, o protótipo real temenorme (não é regime de Stokes). Portanto a hipótese é apenas um caso hipotético. -
Ainda assim, aplicando a fórmula de Stokes sob a hipótese
: Usandoe , Substituindo:Calcule passo a passo:
Assim,
- Interpretação final: no regime de Stokes (hipotético
) a força de arrasto seria minúscula, cerca de . Na prática, porém, o protótipo a na água está em , portanto a fórmula de Stokes não vale para o caso real — o arrasto real (estimado pela semelhança no passo anterior) é muito maior ( ).
Resposta
(a)
(b)
(c)