Considerando o reboque de uma esfera (protótipo) na água com \operatorname{Re}=0,5. Calcule (a) a força de arrasto sobre um protótipo de 200 mm de diâmetro, de acordo com a teoria de Stokes; (b), a força de arrasto sobre o mesmo protótipo utilizando a equação tradicional - Utilize a área da superfície da esfera como \pi D^{2} / 4; (c) a força de arrasto sobre o mesmo protótipo utilizando a equação da quantidade de movimento - Considere o regime permanente e, caso seja necessário, o volume de controle pode ser definido a seu critério; (d) a força de arrasto sobre o mesmo protótipo utilizando a equação da quantidade de movimento - Considere regime não-permanente e, caso seja necessário, o volume de controle pode ser definido a seu critério; (e) considerando os cálculos das letras ’ a ’ e ’ b ', houve diferença no resultado? Explique o porquê; (f) o erro percentual ao utilizar a formulação da letra c; (g) explique por que na letra ‘c’ não foi obtida equivalência no resultado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que vou usar (tudo aqui foi extraído do enunciado ou é uma escolha justificável quando necessário):
  • O enunciado pede as forças de arrasto sobre uma esfera protótipo de diâmetro D=200\\ \text{mm}=0{,}200\\ \text{m} para vários métodos:
    (a) teoria de Stokes;
    (b) equação tradicional do arrasto (use área \pi D^{2}/4);
    (c) equação da quantidade de movimento — regime permanente (escolha de volume de controle permitida);
    (d) equação da quantidade de movimento — regime não-permanente (escolha de volume de controle permitida);
    (e) comparar resultados de (a) e (b) e explicar possíveis diferenças;
    (f) erro percentual ao usar a formulação da letra (c) (comparando com (a));
    (g) explicar por que em (c) não houve equivalência.
  • Dados numéricos e escolhas físicas razoáveis (não fornecidos no enunciado, então adoto valores padrão para água à temperatura ambiente):
    • número de Reynolds \operatorname{Re}=0{,}5 (dado);
    • diâmetro D=0{,}200\\ \text{m} (dado);
    • densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} (valor padrão);
    • viscosidade dinâmica \mu=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (valor padrão).
    • viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} (calculado).
  • Relação entre \operatorname{Re}, U, D e \nu:
    \operatorname{Re}=\dfrac{U D}{\nu}\quad\Rightarrow\quad U=\dfrac{\operatorname{Re}\,\nu}{D}.
    Vou usar essa relação para obter a velocidade de referência U correspondente a \operatorname{Re}=0{,}5.
  • Fórmulas que usarei:
    • Lei de Stokes (arrasto para esfera em escoamento laminar muito viscoso / Re \ll1): F_{\text{Stokes}}=3\pi\mu D\,U.(equivalente a 6\pi\mu R U com R=D/2).
      Vou explicar de onde vem e por que vale para Re pequeno quando aplicar.
    • Equação tradicional do arrasto (forma baseada em coeficiente C_D): F_{\text{drag}}=\tfrac12\,\rho\,U^{2}\,C_{D}\,A,onde A=\pi D^{2}/4 (área fornecida) e C_{D} depende de \operatorname{Re}. Para esferas em regime viscoso-dominante (Re pequeno) usa-se C_{D}\approx 24/\operatorname{Re} (lei de Stokes para o coeficiente de resistência).
    • Equação integral da quantidade de movimento (forma geral): \dfrac{d}{dt}\!\int_{CV}\rho\,\mathbf{v}\,dV+\int_{CS}\rho\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA =\int_{CS}\mathbf{t}\,dA + \int_{CV}\rho\,\mathbf{g}\,dV,onde \mathbf{t} são as forças de superfície (pressão + tensões viscosas). Para o arrasto numa direção x vamos considerar a projeção nesta equação. Vou usar versões simplificadas conforme o caso (permanente ou não-permanente) e discutir hipóteses apropriadas.
A partir daqui começo os cálculos e as explicações passo a passo.

Passo 2

Calcular a velocidade U correspondente a \operatorname{Re}=0{,}5 e ao diâmetro D.
Usando
U=\dfrac{\operatorname{Re}\,\nu}{D},
substituindo \operatorname{Re}=0{,}5, \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} e D=0{,}200\\ \mathrm{m},
U=\dfrac{0{,}5\times 1{,}0\times10^{-6}}{0{,}200}= \dfrac{0{,}5\times10^{-6}}{0{,}2}=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático curto: esse é um valor muito pequeno de velocidade — é coerente com Re muito baixo e um corpo relativamente grande ( 0{,}2\\ \text{m}). Em escoamentos creeping (muito viscosos), U costuma ser pequeno para manter Re baixo.

Passo 3

(a) Cálculo pela teoria de Stokes: origem e aplicação.
Explicando a fórmula: a lei de Stokes para esfera deriva da solução analítica das equações de Navier–Stokes linearizadas (Regime de Stokes, onde as forças viscosas dominam sobre as inerciais). Para uma esfera rígida imóvel com fluido remoto movendo-se com velocidade U, a força de arrasto magnitude é
F_{\text{Stokes}}=3\pi\mu D\,U.
Aqui:
  • F_{\text{Stokes}} é a força de arrasto (N);
  • \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s);
  • D é o diâmetro da esfera (m);
  • U é a velocidade de referência longe da esfera (m/s).
Substituindo números:
F_{\text{Stokes}}=3\pi(1{,}0\times10^{-3})\,(0{,}200)\,(2{,}5\times10^{-6}).
Calcule passo a passo:
1{,}0\times10^{-3}\times0{,}200=2{,}0\times10^{-4},
2{,}0\times10^{-4}\times2{,}5\times10^{-6}=5{,}0\times10^{-10},
3\pi\times5{,}0\times10^{-10}=15\pi\times10^{-10}=1{,}5\pi\times10^{-9}.
Numericamente,
F_{\text{Stokes}}\approx 1{,}5\pi\times10^{-9}\\ \mathrm{N}\approx 4{,}71\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.
Comentário didático: esse valor é extremamente pequeno (nanonewtons) porque a velocidade de referência é muito pequena. A lei de Stokes é válida aqui porque \operatorname{Re}=0{,}5 está na faixa de regime viscósico-dominante (a aproximação funciona razoavelmente para Re « alguns», embora idealmente Stokes estrito seja para Re \ll 1).

Passo 4

(b) Cálculo pela equação tradicional do arrasto F=\tfrac12\rho U^{2} C_{D} A, com A=\pi D^{2}/4. Escolha do C_{D} para Re pequeno.
Explicação didática do C_{D}: para esferas em regime de escoamento laminar a baixa Re existe a relação clássica
C_{D}\approx \dfrac{24}{\operatorname{Re}},
que é a expressão do coeficiente de arrasto associada à solução de Stokes (essa expressão conecta a formulação empírica com a lei de Stokes). Assim para \operatorname{Re}=0{,}5,
C_{D}=\dfrac{24}{0{,}5}=48.
Calcular a área A:
A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}=\dfrac{\pi (0{,}200)^{2}}{4}=\dfrac{\pi \times 0{,}0400}{4}=\pi\times0{,}0100=0{,}01\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx 3{,}1416\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora calcular F:
F=\tfrac12\,\rho\,U^{2}\,C_{D}\,A.
Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, U=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}, C_{D}=48 e A=0{,}01\pi,
F=\tfrac12\times1000\times(2{,}5\times10^{-6})^{2}\times48\times0{,}01\pi.
Calcule passo a passo:
(2{,}5\times10^{-6})^{2}=6{,}25\times10^{-12},
\tfrac12\times1000=500,
500\times6{,}25\times10^{-12}=3{,}125\times10^{-9},
3{,}125\times10^{-9}\times48=1{,}5\times10^{-7},
1{,}5\times10^{-7}\times0{,}01\pi=1{,}5\times10^{-9}\pi\approx4{,}712\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.
Resultado numérico:
F_{\text{tradicional}}\approx 4{,}71\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.
Comentário: o resultado numérico coincide com o de Stokes. A relação algébrica entre as fórmulas explica isso (vejo no próximo passo). Isso era esperado quando se usa C_{D}=24/\operatorname{Re}.

Passo 5

Mostrar algebraicamente por que (a) e (b) coincidem quando C_{D}=24/\operatorname{Re}.
Parto da equação de Stokes:
F_{\text{Stokes}}=3\pi\mu D U.
Parto da equação de arrasto com C_{D}=24/\operatorname{Re}:
F=\tfrac12\rho U^{2}\left(\dfrac{24}{\operatorname{Re}}\right)A.
Substituo \operatorname{Re}=UD/\nu e A=\pi D^{2}/4:
F=\tfrac12\rho U^{2}\dfrac{24\nu}{UD}\cdot \dfrac{\pi D^{2}}{4}.
Simplificando:
F=\tfrac12\rho U^{2}\cdot\dfrac{24\nu}{UD}\cdot\dfrac{\pi D^{2}}{4} = \rho U^{2}\cdot\dfrac{3\nu\pi D}{1}\cdot\dfrac{1}{U\rho} =3\pi\mu D U,
pois \nu=\mu/\rho. Assim F da equação com C_{D}=24/\operatorname{Re} reduz-se exatamente a F_{\text{Stokes}}. Portanto números concordam e a equivalência é algébrica.
Explicação didática curta: o uso de C_{D}=24/\operatorname{Re} é a forma de escrever a solução de Stokes em termos do coeficiente adimensional; é a mesma física expressa de duas maneiras.

Passo 6

(c) Equação da quantidade de movimento — regime permanente (steady). Escolha de volume de controle e aplicação prática.
Escrever a forma escalar (componente na direção do arrasto, x):
\int_{CS}\rho\,v_{x}( \mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA + \underbrace{\int_{CS} p\,n_{x}\,dA}_{\text{pressões nas faces do CV}} - \underbrace{\int_{CS}\tau_{xj} n_{j}\,dA}_{\text{tensões viscosas nas faces do CV}} = F_{x,\text{ext}},õõ
onde F_{x,\text{ext}} é a força externa aplicada ao fluido no CV (no nosso problema isto é igual e oposto ao arrasto na esfera).
Escolho um CV grande que engloba a esfera e tem faces de entrada e saída muito afastadas, de modo que nas faces distantes:
  • a velocidade aproximada é uniforme e igual a U (entrando e saindo, assumindo fluxo simétrico a jusante e montante);
  • a pressão nessas faces é aproximadamente a pressão ambiente (mesma montante e jusante).
    Com essas hipóteses, o termo de fluxo de quantidade de movimento \int_{CS}\rho v_{x}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA avaliado entre entrada e saída será praticamente zero (entrada e saída têm mesmo U e mesma área de fluxo, cancelando-se), e as contribuições de pressão nas faces à distância também se cancelam.
Se, além disso, assumirmos (de forma indevida) que as tensões viscosas sobre as faces externas do CV são desprezíveis (porque o CV é grande e imaginamos que ao acaso as tensões se anulam), então a soma dos termos do lado esquerdo é nula e obtemos
F_{x,\text{ext}} \approx 0,
ou seja, o arrasto calculado por esse procedimento seria praticamente zero.
Cálculo numérico (aplicando a hipótese uniforme): dá
F_{\text{(c)}}\approx 0\\ \mathrm{N}.
Comentário didático importante: esse resultado é um artefato da escolha de hipóteses. Para escoamentos de Re baixo (creeping flow), as forças viscosas não aparecem apenas na superfície da esfera: há tensões viscosas atuando no fluido arbitrariamente longe (decadência lenta), e o arrasto é entregue ao fluido por distribuições de tensão que não se resumem à diferença de momento entre entrada e saída se o controle é tomado de forma grosseira. Portanto, na aplicação correta da equação de quantidade de movimento em regime permanente é necessário incluir explicitamente as tensões viscosas e a distribuição de pressão nas superfícies do CV próximas ao corpo — não é correto simplesmente tomar faces distantes e desprezar todas as tensões. Se alguém desprezar essas contribuições, obterá zero como vimos.

Passo 7

(d) Equação da quantidade de movimento — regime não-permanente (transiente). O que muda e se é possível obter um valor numérico?
Forma geral com termo não-permanente (proj. em x):
\dfrac{d}{dt}\!\int_{CV}\rho\,v_{x}\,dV + \int_{CS}\rho\,v_{x}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \int_{CS} p\,n_{x}\,dA - \int_{CS}\tau_{xj} n_{j}\,dA + \int_{CV}\rho g_{x}\,dV.
Aqui o termo \dfrac{d}{dt}\int_{CV}\rho v_{x} dV (variação temporal do momento dentro do CV) pode ser diferente de zero e, dependendo do processo transiente, fornecerá a componente necessária para equilibrar os termos de superfície, recuperando a força de arrasto correta quando somado aos fluxos de momentum e às tensões.
No entanto, para calcular um número precisa-se conhecer a evolução temporal do campo de velocidades dentro do CV — por exemplo, como a velocidade remota U(t) muda, ou como o escoamento se estabelece. O enunciado não fornece nenhuma informação temporal (por exemplo, aceleração do fluido, tempo característico, padrão de arranque), portanto não é possível calcular numericamente F em (d) sem dados do processo transiente.
Conclusão prática para (d): é preciso informação temporal (por exemplo U(t) ou \partial v/\partial t dentro do CV) para avaliar o termo \dfrac{d}{dt}\int_{CV}\rho v\,dV. Sem isso, só posso escrever a expressão geral, não um valor numérico.

Passo 8

(e) Houve diferença entre (a) e (b)? Explicação concisa.
Resposta curta e clara (explicação detalhada já dada): não houve diferença — os resultados numéricos de (a) e (b) coincidiram. Motivo: a expressão C_{D}=24/\operatorname{Re}, empregada na equação tradicional para baixo Re, é algebraicamente equivalente à lei de Stokes F=3\pi\mu D U quando usa-se \operatorname{Re}=UD/\nu e \nu=\mu/\rho.

Passo 9

(f) Erro percentual ao utilizar a formulação da letra (c) (comparando com o valor de referência, que tomamos como Stokes de (a)).
Defino erro percentual relativo ao valor de referência F_{\text{ref}}=F_{\text{Stokes}}:
\text{erro\%}=\dfrac{|F_{\text{(c)}}-F_{\text{ref}}|}{F_{\text{ref}}}\times100\%.
Como de fato F_{\text{(c)}}\approx0\\ \mathrm{N} (pelo raciocínio do passo 6) e F_{\text{ref}}\approx 4{,}71\times10^{-9}\\ \mathrm{N},
\text{erro\%}=\dfrac{|0-4{,}71\times10^{-9}|}{4{,}71\times10^{-9}}\times100\%=100\%.
Comentário didático: o erro é 100% porque a formulação aplicada de forma simplificadora anulou a contribuição viscosa que realmente gera o arrasto.

Passo 10

(g) Explicação por que na letra (c) não foi obtida equivalência no resultado (razões físicas e matemáticas).
Pontos principais, de forma didática:
  • Em escoamentos de Reynolds baixo, as forças viscosas atuam no fluido em uma região extensa em torno do corpo; a transmissão do arrasto ao fluido envolve tensões viscosas próximas ao corpo e distribuição de pressão que não se reduz a um simples “déficit de momentum” entre entrada e saída de um CV considerado grosseiramente.
  • Ao aplicar a equação integral da quantidade de movimento em regime permanente, se escolher um CV com faces muito distantes e ASSUMIR (de forma incorreta) que as tensões viscosas e as diferenças de pressão nessas faces são desprezíveis, obtém-se cancelamento dos termos de fluxo de quantidade de movimento e, portanto, arrasto nulo — artefato da hipótese.
  • Para recuperar o arrasto correto via balanço de momento é necessário:
    1. incluir explicitamente as tensões viscosas e a pressão nas superfícies do CV próximas ao corpo, ou
    2. usar um CV que saiba “capturar” o déficit de momentum no escoamento (por exemplo, integrando o campo de velocidade/pressão no plano de saída do escoamento real, que em Re baixos pode não apresentar um wake claro), ou
    3. considerar o termo não-permanente \dfrac{d}{dt}\int_{CV}\rho v\,dV se o escoamento for transiente.
  • Em resumo: o método da quantidade de movimento dá o resultado correto se aplicado rigorosamente (não desprezando termos relevantes). A discrepância vista em (c) resulta de uma aplicação simplificadora que deixou de fora os termos viscosos/pressóricos essenciais.

Passo 11

Resumo final e incentivo rápido: concluí os cálculos numéricos para (a) e (b), mostrei porque coincidem, expliquei o problema em (c) e por que o resultado é incorreto se se negligencia tensões viscosas, e expliquei que (d) não pode ser resolvido numericamente sem dados temporais. Força aí — esse tipo de questão é exatamente sobre entender hipóteses ao aplicar balanços integrales; se quiser, faço uma versão com um volume de controle explicitamente desenhado e mostro as integrais de superfície (mais trabalho, mas instrutivo).

Resposta

(a) F_{\text{Stokes}}\approx 4{,}71\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.
(b) F_{\text{tradicional}}\approx 4{,}71\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.
(c) Aplicando o balanço de quantidade de movimento em regime permanente com a hipótese de faces distantes e desprezo das tensões viscosas externas obtém-se F_{\text{(c)}}\approx 0\\ \mathrm{N}.
(d) Não é possível determinar numericamente sem informação temporal sobre a evolução do escoamento; a expressão geral é
\displaystyle F_{x}=\dfrac{d}{dt}\!\int_{CV}\rho v_{x}\,dV+\int_{CS}\rho v_{x}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA -\!\int_{CS}\!p\,n_{x}\,dA+\!\int_{CS}\tau_{xj}n_{j}\,dA,
mas falta \partial/\partial t e/ou v(\mathbf{x},t) para calcular numericamente.
(e) Não houve diferença entre (a) e (b); coincidem porque C_{D}=24/\operatorname{Re} torna a fórmula \tfrac12\rho U^{2}C_{D}A algebraicamente equivalente a 3\pi\mu D U (lei de Stokes).
(f) \text{erro\%}=\dfrac{|0-4{,}71\times10^{-9}|}{4{,}71\times10^{-9}}\times100\%=100\%.
(g) Na letra (c) não houve equivalência porque, ao escolher um volume de controle e desprezar tensões viscosas e diferenças de pressão nas superfícies externas do CV, cancelam-se os termos de fluxo de momentum e perde-se a contribuição viscosa essencial ao arrasto em escoamentos de baixo \operatorname{Re}; para obter equivalência é preciso aplicar o balanço incluindo as tensões viscosas/pressão nas superfícies apropriadas ou considerar o termo temporal se o processo for transiente.

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